（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习专项训练第7讲 立体几何大题（2份，原卷版+解析版）

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一、“中位线”法证明线面平行
二、“平行四边形”法证明线面平行
三、“构造面面平行”法证明线面平行
四、利用线面/面面平行的性质证明线线平行
五、证明面面平行
六、证明线面垂直
七、证明面面垂直
八、利用面面垂直的性质解题
九、“等体积法”求点到平面的距离
十、“转顶点法”求三棱锥的体积
十一、立体几何大题存在性问题
【精选好题】
题型一、“中位线”法证明线面平行
1．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求三棱柱的表面积
2．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
3．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点．
(1)求证：平面BDF；
(2)求三棱锥E-BDF的体积．
题型二、“平行四边形”法证明线面平行
4．如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
5．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.

6．如图，三棱锥中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，，，，，，求三棱锥的体积．
题型三、“构造面面平行”法证明线面平行
7．已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

8．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．

9．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面；
（2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面．
10．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．求证：平面；

题型四、利用线面/面面平行的性质证明线线平行
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．

12．如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明.
13．如图，平面，平面，，求证：
14．如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.
（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1)求证：QN平面PAD；
(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
五、证明面面平行
16．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
(1)平面PCD；
(2)平面平面PBC．
17．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
18．如图：在正方体中，为的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)若为的中点，求证：平面平面.
题型六、证明线面垂直
19．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
20．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，
（1）若为中点，证明：面
（2）若点在面上投影在线段上，，证明：面.
21．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
22．如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且.

(1)求证：平面AEC；
(2)求证：平面AEC.
题型七、证明面面垂直
23．如图，在直三棱柱中，，G是棱的中点．

(1)证明：；
(2)证明：平面平面．
24．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
25．在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.

(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
题型八、利用面面垂直的性质解题
26．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，求证：.

27．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，为等边三角形，G为边AD的中点，平面平面ABCD.

(1)求证：平面PAD；
(2)若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面平面ABCD？证明你的结论.
28．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，现将与折起，使得平面BAE和平面CDE都与平面DAE垂直.求证：平面DAE.

题型九、“等体积法”求点到平面的距离
29．在三棱锥中，底面ABE，AB⊥AE，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，连接PC，PD，CD.
(1)求证：平面PAB；
(2)求点E到平面PCD的距离.
30．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
31．如图所示，在四棱锥中，，为棱的中点，，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
题型十、“转顶点法”求三棱锥的体积
32．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积.
33．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
34．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．
(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当P在线段上移动时，求的最小值．
题型十一、立体几何大题存在性问题
35．如图，正三棱柱中，，点M为的中点．在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
36．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
37．如图所示，在三棱柱中，分别是线段的中点.
（1）在线段上是否存在一点，使直线平面？
（2）在问题（1）中，若存在点，则点在什么位置？如何证明你的结论？