第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）-2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）

一、选择题

1．如图，在棱长为1正方体中，点，分别为边，的中点，将沿所在的直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是

A．无论旋转到什么位置，、两点都不可能重合

B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为

C．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为

D．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为

【答案】D

【详解】

解：过A点作AM⊥BF于M，过C作CN⊥DE于N点

在翻折过程中，AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB，EC，DC也可以看成圆锥的母线；

在A中，A点轨迹为圆周，C点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A正确；

在B中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°，又AF，EC分别可看成是圆锥的母线，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B正确；

在C中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C正确；

在D中，能否使得直线与直线所成的角为，只需看以B为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D不成立；

故选D．

2．如图所示，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，，，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V为（    ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】D

【详解】

解法一：如图，连接EB，EC，AC，则.

，

.

.

.

解法二：如图，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，

则，，，得三棱柱，

由题意得

，

，

.

解法三：如图，延长EF至点M，使，连接BM，CM，AF，DF，

则多面体为斜三棱柱，其直截面面积，则.

又平面BCM与平面ADE平行，F为EM的中点，

，

，

即，

，.

故选：D

3．下列命题中正确的是

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b不在平面α内，则b∥α

【答案】D

【详解】

解：如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故错误；

如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故错误；

如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误；

选项：过直线作平面，设，

又

又

又且

．因此正确．

故选：．

4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是(　　)

A．D1O∥平面A1BC1

B．MO⊥平面A1BC1

C．二面角M－AC－B等于90°

D．异面直线BC1与AC所成的角等于60°

【答案】C

【详解】

对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形

故

平面平面平面，故正确

对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，

,易证平面，则平面，故正确；

对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误

对于D，为异面直线与所成的角，

为等边三角形，，故正确

故选C

5．如图，在长方体中，、分别是棱和的中点，过的平面分别交和于点、，则与的位置关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

【答案】A

【详解】

在长方体中，，、分别为、的中点，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

又，，故选A.

6．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

取BC的中点D，连接ED与FD∵E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点∴ED∥SB，FD∥AC,而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1即EF=.

故选B.

7．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，两点），且，则二面角的大小为

A．60° B．30° C．45° D．15°

【答案】C

【详解】

解：由条件得.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，

所以.所以为二面角的平面角.在中，由得.

故选：.

8．在空间四边形中，若，则有

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】D

【详解】

由题意，知，又由，可得平面，

又由平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面

9．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【详解】

本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．

10．已知两个平面相互垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】

由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；

对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，

∵平面α⊥平面β， ∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α， ∴l⊥n，

而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；

对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故③错误；

对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故④错误；

故选A．

11．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

【答案】B

【详解】

①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.

12．下列结论正确的选项为(　　)

A．梯形可以确定一个平面；

B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

C．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

【答案】A

【详解】

因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A正确．

两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B错．

当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C错．

如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D错．

综上，选A．

13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设圆柱的底面半径为．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为．因为该圆柱的体积为，，解得，所以该圆柱的侧面积为．

14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为

A． B．

C．8π D．

【答案】C

【详解】

设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．

故选C.

15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为，所以底面积为，所以体积为，故选A．

16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（    ）

A．原来相交的仍相交

B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行

D．原来共点的仍共点

【答案】B

【详解】

解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；

故选：B．

17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形为 (　　)

A．下底长为的等腰梯形

B．下底长为的等腰梯形

C．下底长为的直角梯形

D．下底长为的直角梯形

【答案】C

【详解】

，   

原平面图形下底长为

由直观图还原平面图形如下图所示：

可知原平面图形为下底长为的直角梯形

故选：

18．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设底面半径为r，则，所以.

所以圆锥的高.

所以体积.

故选：C.

19．下列说法中正确的是

A．圆锥的轴截面是等边三角形

B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成

D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

【答案】D

【详解】

圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确．

20．如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，

设，

因为平面，平面，故，

而，故平面，而平面，

所以，故，

又，.

在直角三角形中，，同理，

故，同理，

故，故，

整理得到，

故，

整理得到即，

若，由 可得即，

但，故，即，矛盾，

故.

故A正确，B错误.

由可得，

而均为锐角，故，，故CD错误.

故选：D.

二、填空题

21．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④sin∠PDA．

【答案】④

【详解】

∵PA⊥平面ABC，如果PB⊥AD，可得AD⊥AB，但是AD与AB成60°，∴①不成立，

过A作AG⊥PB于G，如果平面PAB⊥平面PBC，可得AG⊥BC，∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，矛盾，所以②不正确；

BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，所以③不正确；

在Rt△PAD中，由于AD＝2AB＝2PA，∴sin∠PDA，所以④正确；

故答案为: ④

22．如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.

【答案】

【详解】

∵四边形是菱形，，

，

为二面角的平面角，

，

是等边三角形.

取的中点，连接，则.

，

平面，

又平面，平面，

平面，

，

，

的边上的高，

，

设点到平面的距离为，则.

，，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______．

【答案】或

【解析】

设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：

（1）球心在连线成构成的线段内

因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为

（2）球心在连线成构成的线段以外

因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为

24．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________．

【答案】

【详解】

连接AC，A′C′，则AC∥A′C′，

即A，C，A′，C′四点共面，

设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，

连接MN，如图所示：

若AA′∥平面BPQD，则AA′∥MN，

则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，

即AC，

，即棱台上下底面边长的比值为．

故答案为．

三、解答题

25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．

（1）求证：AC1∥平面PBD；

（2）求证：BD⊥A1P．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】

（1）

连接AC交BD于O点，连接OP，

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，

所以O点是AC的中点，所以AO=OC．

又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，

所以AC1∥平面PBD．

（2）连接A1C1．因为ABCD–A1B1C1D1为直四棱柱，

所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．

26．如图，在直三棱柱中，，，点是与的交点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

分析：（1）连结，为与的交点，为中点，为中点，根据三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得，由菱形的性质可得，平面，可得，可证明，由线面垂直的判定定理可得结果.

详解：（1）连结，

∵直棱柱中，为与的交点，

∴为中点，为中点，

∴

又∵平面，平面

∴平面.

（2）由知

∵，

∴四边形是菱形，

∴.

∵平面，平面

∴

∵,平面，

∴平面

∵平面，

∴

∵，平面，

∴平面

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，∠BCD，BC⊥PD，PE⊥BC．

（1）求证：PC＝PD；

（2）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B到平面PCD的距离．

【答案】（1）证明见解析 （2）．

【详解】

（1）证明：由题意，BC⊥PD，BC⊥PE，

∴BC⊥平面PDE，

∵DE⊂平面PDE，

∴BC⊥DE.

∵∠BCD，∠DEC，

∴ED＝EC，

∴Rt△PED≌Rt△PEC，

∴PC＝PD.

（2）解：由题意，底面ABCD是边长为2的菱形，则ED＝EC，

∵平面PBC⊥平面ABCD，PE⊥BC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，

∴PE⊥平面ABCD，即PE是四棱锥P﹣ABCD的高.

∴VP﹣ABCD2PE，解得PE.

∴PC＝PD＝2.

设点B到平面PCD的距离为h，

∵VB﹣PCD＝VP﹣BCDVP﹣ABCD，

∴2×2×sin60°×h，

∴h.

∴点B到平面PCD的距离是.

28．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）因为四边形是矩形，故，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又面，所以，

在等腰梯形中，，，

因，故，，即，

又，故平面，

平面，所以平面平面；

（2）的面积为，

，平面，所以，平面，

，故.