浙江省台州市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析

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2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】移项后联立方程组可得解.
【详解】直线，即，
令，解得，
即直线过定点.
故选：C
2. 双曲线的焦点坐标是
A ，B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
【点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
3. 如图.空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.
【详解】因为为的中点，则，
因为，则，
因此，.
故选：B.
4. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两圆方程相减可得答案.
【详解】，①
，②
①②得.
故选：B.
5. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.
【详解】因为：，：垂直，
所以，
解得或，
将，代入方程，均满足题意，
所以当或时，.
故选：.
6. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.
【详解】

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．
故选：C
7. 已知圆，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则（ ）
A. 3B. C. 3或D. 或5
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心坐标，利用点到直线距离公式列式求解.
【详解】圆的圆心，半径，
由圆上恰有三个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为，
即，所以或.
故选：C
8. 已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（ ）
A. 当时，的周长为
B. 当时，若的中点为，则
C. 若的最小值为，则椭圆的离心率
D. 若，则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义判断A；根据点差法求斜率判断B；根据椭圆中过焦点的弦中通径最短求出离心率判断C；根据平面向量的数量积和椭圆的几何性质求出离心率的范围，判断D．
【详解】因为弦过椭圆的左焦点，
所以的周长为，所以A错误；
设，，则，有，，
所以，
由，得，所以，
则有，所以B错误；
由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为，
则有，即，解得，
所以，所以C错误；
设，，，
所以，
则有，可得，故D正确．
故选：D
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A. 双曲线经过点B. 椭圆的离心率
C. 椭圆和双曲线共焦点D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点
【答案】AD
【解析】
【分析】将代入双曲线方程可得A；由椭圆离心率定义计算可得B；由焦点定义可得C；联立椭圆和双曲线方程，解出可得其交点个数，即可得D.
【详解】对于A：将代入双曲线的方程可得，故A正确；
对于B：由椭圆可得其离心率，故B错误；
对于C：椭圆的焦点在轴上，而双曲线的焦点在轴上，故C错误；
对于D：联立，解得，
故椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确.
故选：AD.
10. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为9B. 过定点
C. 与圆一定不相切D. 圆心到直线的最大距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可.
【详解】对于A：圆，
化为标准方程为，
所以圆的半径为3，故A错误；
对于：可变形为，
由得所以直线过定点，故正确；
对于C：因为，所以点在圆内部，
所以直线与不可能相切，故正确；
对于D：圆心由标准方程可知为，
圆心到定点的距离为，
故圆心到直线的最大距离为，故正确.
故选：BCD
11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，且、、三点不共线，则下列结论正确的是（ ）
A. 是直线的一个方向向量B. 存在实数，使、 、、四点共面
C. 平面与平面的夹角为定值D. 直线与平面所成角一定不大于
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量的平行证明判断A选项；利用空间向量存在定理证明B选项；通过空间二面角线面角来判断C，D选项即可.
【详解】对于A：由题知，故A正确；
对于B：，，若、 、、四点共面，
则存在实数使得，
即，
易知，故不存在实数使得，所以不存在实数，
使、 、、四点共面，故B错误；
对于C：设平面与平面的法向量分别为：，，
可得，令，则，故，
，而 、、三点不共线，故，
若使等式成立，则，故，
，故C正确；
对于D：令直线与平面所成角为，则：
，
若要证明，只需证：，
只需证：，
只需证：，
而二次函数的判别式，
故，命题得证，故直线与平面所成角一定不大于，
故D正确.
故选：ACD.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12. 点关于轴的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点关于轴的对称点的特点即可得到答案.
【详解】根据空间对称性得点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：.
13. 若圆的弦被点平分，则直线的方程为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可知，结合垂直关系可得斜率，即可求直线方程.
【详解】因为圆的圆心为，则，
由题意可知：，则的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
14. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，再由的范围，可得的取值范围．
【详解】由椭圆的方程可得，，
可得，
易知圆的圆心，半径为1，

因为，
所以 ，
可知恰为椭圆的右焦点，所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点为，直线的方程为．
（1）求直线的方程；
（2）若为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；
（2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
因为四边形为平行四边形，所以，所以，
又因为点，所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
点到直线的距离为，且，
故平行四边形的面积为．
16. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，且．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）可建立适当空间直角坐标系，再求出空间向量计算得到、，再利用线面垂直判定定理即可得证；
（2）求出平面与平面的法向量后，结合空间向量加角公式计算即可得.
【小问1详解】
显然，，两两垂直，则可以为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，，，，
，，，
则，
所以，，
又，
所以，，
又因为，平面，，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可知，，又，
设平面的法向量为，
则，令，得，，即，
又平面，故可取平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
17. 已知圆，圆，为坐标原点．
（1）过点作圆的一条切线，求切线长；
（2）若圆和圆有两条公切线，求实数的范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线长计算公式即可得到答案；
（2）转化两圆相交即可得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题可知，圆心，
过点作圆的切线，则切线长为，
又，
所以切线长为．
【小问2详解】
圆的圆心坐标为，半径，
圆的半径，
又因为两圆有两条公切线，所以两圆相交，
所以，即，
解得．
18. 已知动点与定点的距离和动点到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线方程；
（2）设曲线与轴的交点为、（点在点的左侧），直线交曲线于、两点（不过点）．
①若直线过点，且倾斜角为，直线被以线段为直径的圆截得的弦为，求的值．
②设直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点．
【答案】（1）
（2）① ； ②证明见解析
【解析】
【分析】（1）设动点，用直接法求其轨迹即可；
（2）①根据条件写出直线，与椭圆方程联立，求出的横坐标，借助弦长公式求，在圆中利用圆的弦长公式求出，即可求解；
②设直线，联立韦达定理得，，根据，化简可求出，根据直线过定点的结论即可求解.
【小问1详解】
设动点，令动点与定点的距离为，动点到定直线的距离为，
由题知，
化简得曲线的方程为；
【小问2详解】
①由已知，直线的方程为即，、，
代入曲线中得，解得或，
设，，则，
以线段为直径的圆的方程为，
圆心到直线的距离，
所以，.
②设，，易知直线的斜率不为0，设其方程为，
联立，可得，
由，得．
由韦达定理，得，，
，，
可化为，
整理即得，
，
由，
进一步得，化简可得，解得，
直线方程为，恒过定点．
19. 在空间直角坐标系中，经过点，法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．有四个平面，，，
（1）求证：平面与轴平行；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
（3）若四个平面，，，围成四面体，判断该四面体是否有内切球，如果有，求出其球心的坐标，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）有内切球，内切球球心
【解析】
【分析】（1）根据题目所给定义，通过向量法证明线面平行即可.
（2）根据向量法求点到面的距离公式，以及题目所给定义，设出一点，代入公式说明即可；
（3）根据内切球球心的性质，以及点到面的距离公式，列出方程组，求出点的坐标.
【小问1详解】
根据题意，平面的法向量，轴的方向向量为，
所以，故平面与轴平行．
【小问2详解】
不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为．
【小问3详解】
设内切球球心为，则球心到四个面距离相等，即
，
球心在四面体的内部，，，，
则由得，或（舍），
代入，得，．
代入中，得，或，
由得交点为，故，所以