浙江省2025_2026学年高一数学上学期12月联考试题含解析

这是一份浙江省2025_2026学年高一数学上学期12月联考试题含解析，共15页。试卷主要包含了 已知 ，则 的大小关系为， 函数 的图象大致为， 已知 ，则， 函数 的单调递减区间为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求解.
【详解】因为 .
故选：D.
2. 已知幂函数 的图象过点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出幂函数解析式，由待定系数法可得.
【详解】因为 为幂函数， ，
又因为图象过 ，所以 ，即 ，得 .
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故选：C.
3. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦函数，指、对函数的单调性可得.
详解】 .
故选：D.
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用奇函数 定义判定 是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除 AB；再根据当
时， ，排除 D，即可得解
【详解】因为 恒成立，所以函数 的定义域为 ，
又 ，则 是奇函数，
其图象关于原点对称排除 A，B.
当 时， ，排除 D.
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故选：C.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】分子分母同时除以 可得.
【详解】 .
故选：A.
6. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数型复合函数的单调性可解.
【详解】∵函数 的定义域为 ，
又因为外层函数 在定义域上单调递减，二次函数 在 上递增，结合函数
的定义域，得到函数 的单调递减区间为 .
故选：B.
7. 若“ ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由存在命题的否定得到真命题，再分 和 两种情况结合二次函数的性质讨论可得.
【详解】 是假命题，
是真命题，
首先当 时，显然成立；
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当 时，需要满足
综上所述得到 .
故选：B.
8. 已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由偶函数及其单调性确定 的取值，再解一元二次不等式，然后可得.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，满足函数 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 ；
当 ；当 ；当
时， 成立.
故选：D.
二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 图象关于点 中心对称
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D. 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合正弦函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间依次分析选项即可.
【详解】对于 的最小正周期 ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，所以 的图象不关于点 中心对称，故 C 错误；
对于 D，当 时， ，所以 在 上单调递增，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 函数 的零点所在区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别作出函数 与函数 的图象，数形结合可得.
【详解】由 得 ，
作出函数 与函数 的图象如图，
由图可知 区间 和 上存在零点.
故选：AC.
11. 已知函数 ，且正实数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
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A. B. 的最大值为 3
C. 的最小值为 6 D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】由对数的运算性质可得 A；结合基本不等式可得 BCD.
【详解】由 可知 ，所以 ，故 A 正确；
由 A 可知 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，故 B 正确；
，
当且仅当 时，等号成立，故 C 错误；
由 ，可知 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
因为 ，所以 ，故 D 错误.
故选：AB.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得.
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【详解】因为 ，所以 .
故答案 ： .
13. 已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得.
【详解】因为当 时，函数 单调递减，且当 时， ；
当 时，函数 单调递减，且当 时， .
由题意得， ，解得
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 若关于 的方程 恰有 4 个根，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 将 问 题 等 价 于 函 数 与 的 图 象 有 4 个 公 共 点 ， 再 画 出 函 数
与 的图象，数形结合分别求出 4 个临界位置可得.
【详解】方程 恰有 4 个根等价于函数 与 的图象有 4 个公共点，
画出函数 与 的图象，
分别求出 4 个临界位置，分别为与 相切､经过 和 ，
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求得直线方程为 +6，
所以 .
故答案为： .
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；
（2）根据奇偶性的定义判断即可.
【小问 1 详解】
解：由 ，等价于 ，解得 ，
故函数 的定义域为 ；
【小问 2 详解】
解：函数 是奇函数，理由如下：
由（1）知，函数 的定义域关于原点对称，且 ，
故函数 为奇函数．
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16. 已知函数 的最小正周期为 ，且当 时， 取得最
小值-1.
（1）求函数 的解析式和单调递增区间；
（2）当 时，求函数 的值域.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦函数的周期公式，最小值和单调递增区间可得；
（2）整体代入利用正弦函数的单调性可得.
【小问 1 详解】
由 得 ，
由 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
，
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所以 的值域为 .
17. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物 后，血液中药物的含量 （单位： ）在 小
时内随时间 （单位： ）的变化曲线如图所示.当 时，可选择用函数 （ ）
来近似地刻画 随 变化的规律；当 时，可选择用函数 （ 为常数）来近似地刻
画 随 变化的规律.
（1）当 时，求这段曲线的函数解析式；
（2）如果该药物在病人血液中的含量保持在 以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物 100 ，
持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据： ）
【答案】（1）
（2）3.50 小时
【解析】
【分析】（1）由余弦函数的周期和点 在指数函数上代入可得；
（2）结合题意，由对数的运算性质计算可得.
【小问 1 详解】
由题意知，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 0.
所以函数 的周期为 2，所以 ，
当 时，函数 过点 ，代入得 .
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所求曲线的函数解析式为
【小问 2 详解】
当 时，令 ，解得 .
当 时，令 ，两边同时取常用对数得： ，
，解得 ，
，
故病人一次性服用药物 100 ，持续有疗效时长约为 3.50 小时.
18. 已知定义域为 的函数 是实数）是奇函数，且指数函数 的图象与函数
的图象关于直线 对称.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）若方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据反函数的性质确定 ，利用奇函数 求 ，再检验奇偶性确定 、 的值.
（2）先变形函数表达式，再用单调性的定义，任取两个自变量作差比较函数值，证明函数单调递增.
（3）利用奇函数与单调性将方程转化为代数方程，换元后结合二次函数在区间内有两个不等实根的条件，
列不等式组求 的范围.
【小问 1 详解】
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由指数函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
得 ，
又 为 上的奇函数，所以 ，得 ，
所以 ，
经检验，符合 ，
所以 .
【小问 2 详解】
在定义域内单调递增，
任取 ，且 ，
则 ，
其中 ，所以 ，
所以 ，
所以 在定义域内单调递增.
【小问 3 详解】
由（1）（2）知
，即 ，
令 ，则 ，
上述方程可化为： 在 上有两个不等实数根，
令 ，则
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解得
综上所述 .
19. 教材第 87 页第 13 题有以下阅读材料：我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形
的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成
中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
（1）已知函数 的定义域为 ，且图象关于点 中心对称，求 的值.
（2）已知函数 的图象关于点 中心对称.
（i）求实数 的值，并判断函数 的单调性（不用证明）；
（ii）若对任意的实数 ，都存在实数 ，使得不等式 成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i） ，在 上是增函数（ii）
【解析】
【分析】（1）利用中心对称图形的性质赋值后计算可得；
（2）（i）由 列方程组可得；由函数的单调性和平移的性质可判断；
（ii）利用奇函数的性质变形不等式，再构造 ，设 ，使原命
题等价于 ，分 的取值结合函数的单调性讨论可得.
【小问 1 详解】
因为函数 的图象关于点 中心对称，
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所以 为奇函数，所以 ，
令 ，则有 ，故 ；令 ，则有 ，
所以 .
【小问 2 详解】
（i）由（1）可知 ，
因为 ，所以 ，则 解得
此时 ，
所以 ，
所以 ，即 为奇函数，符合题意，
所以 .
因为函数 的图象可由 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到，
故函数 在 上也是增函数.
（ii）因为函数 的图象关于点 对称，且该函数的定义域为 ，
对任意的 ，
由 可得 ，
即 ，
因为函数 在 上是增函数，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
设 ，只有 才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于 1.
否则当 任意变化到使 时，对任意的 ，
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.
故原命题等价于 .
①当 时， 在 上单调递增，
即 ，所以 ，
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递增， ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
若 ，则 ，所以 ，
若 ，则 ，所以 ，
所以 ，
当 时， 在 上单调递减，此时 ，得 .
综上得
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