浙江省杭州市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份浙江省杭州市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分．每题中只有一个选项符合题意．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角.
【详解】直线 化为点斜式得， ，
所以直线的斜率为 ，所以倾斜角为 ，
故选：B.
2. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆圆心之间的距离与半径的关系判断即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以两圆圆心之间的距离为 ，故 ，
所以两圆相交.
故选：B
3. 已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A 6 B. 11 C. 12 D. 2
【答案】A
【解析】
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【分析】方法 1： 计算即可；方法 2：根据前 项和可知数列 为等差数列，再根据等差数
列求解第三项；
【详解】方法 1： ．
方法 2：等差数列 的前 项和为 ，
因为 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列．
于是 ．
故选：A．
4. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件得出 ，再利用公式 可求出椭圆 的离心率.
【详解】因为椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 ，即 ，
故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
5. 已知抛物线 ，过点 作弦 ，弦 恰被点 平分，则弦 所在直线的斜率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法可求得直线 的斜率.
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【详解】设点 、 ，
因为点 为线段 的中点，则 ， ，
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
由题意可得 ，将这两个等式作差可得 ，
即 ，所以，直线 的斜率为 .
故选：D.
6. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 经过焦点 ，且与 相交于
两点，分别过 作 的垂线，垂足分别为 ，设 的中点为 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得 ，准线 ， ，联立得到 ，结合条件得
，再利用两点间距离公式求解即可．
【详解】直线 过焦点，则 ，故抛物线 的方程为 ，准线 ，
设 ，
联立方程
消去 得 ，
故 ，
由题设知 的纵坐标与 中点纵坐标相等，且 在准线上，而 ，
故 ，所以 ，
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故选：C．
7. 双曲线 的右焦点 ，过原点 的直线与 相交于 P，Q 两点，若 ，则
的面积为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可得 ，由双曲线的定义及对称性可得 ，由此可求
，进而可得 的面积．
【详解】因为双曲线 ，所以 ，设左焦点为 ，
由题意可知 ， 关于原点 对称，所以 ，
由双曲线的对称性可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
所以 ，可得 ，
又 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
故选：B．
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8. 已知直线与抛物线 C： 交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，且 ，直
线 AB 的倾斜角为 ， 交 AB 于点 ，若 为拋物线上任意一点，则 的最
小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】设出直线 AB 的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的判别式和根的系数关系、抛物线的定
义逐一判断即可.
【详解】由题意，可设直线 AB 的方程为： ， ， ， ，
则： ，消 可得： ，由 得 ，
则 ， ，又 ，
所以 ，
解得 （舍）或 ，所以直线 AB 的方程为： ，
过定点 ，又 ，故点 在以 OT 为直径的圆上，
故点 的轨迹方程为 ， ，
又点 和点 在直线 AB 上，且 AB 的倾斜角为 ，
即直线 AB 的斜率 ，故 ， ，
如下图弧所示，过 P，D 分别作准线 的垂线，垂足分别为 H，I，
根据抛物线的定义知： ，
当点 为 ID 与抛物线的交点时取等号，
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又 ，当 取最小值 4 时，此时 取得最小值 6，
故 的最小值为 6．
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.
二、多选题：本题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分．每题中有多个选项符合题意．
9. 已知等差数列 ，则下列结论正确 是（ ）
A. 等差数列 的公差为
B. 等差数列 的通项公式为
C. 等差数列 是一个单调递增的数列
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】选项 A，利用等差数列性质求出 ，进而求出公差 ；选项 B，根据通项公式求出 ；选项 C，
根据公差的正负判断数列单调性；选项 D，利用通项公式求解特定项的项数.
【详解】选项 A， ，则 ，所以 ，所以 A 正确；
选项 B， ，则通项公式为 ，所以 B 错误；
选项 C，由选项 A 知 ，所以 C 正确；
选项 D，由选项 B 知 ，则当 时，解得 ，而 ，所以 D 错误.
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故选：AC
10. 在平面直角坐标系 中，已知 ，直线 ，动点 满足
，则（ ）
A. 原点 O 到直线 的距离的最大值为 12 B. 面积的最大值为 8
C. 点 到 距离的最大值为 17 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根据题设求出点 的轨迹方程为 ，可得点 的轨迹是圆，且圆心为 ，
半径 ，再利用直线 恒过定点，当直线 与过点 O 和 的直线垂直时，原点 O 到直线 的距离最
大即可求解 A；根据面积公式即可求解 B；利用直线恒过定点，当直线 与过 和 的直线垂直
时，点 到直线 的距离最大即可求解 C；对于 D，根据直线 PM 与圆 C 相切时， 最大，此时
，在直角三角形中计算 ．
【详解】设 ，由 ，得 ，
即 ，则点 的轨迹是圆，且圆心为 ，半径 .
对于 A，由于 恒过定点 ，而原点 O 和 之间 距离为 12，
当直线 与过点 O 和 的直线垂直时，
原点 O 到直线 的距离最大，最大值为 12，故 A 正确；
对于 B， 在圆 上运动，其圆心 在 轴上，
则 面积的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，由于 恒过定点 ， 和 之间的距离为 13，
当直线 与过点 和 的直线垂直时，
点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，故 C 正确；
对于 D，当直线 与圆 C 相切时， 最大，此时 ，
易知 ， ，则 ，故 D 错误．
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故选：ABC.
11. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射
基 本 定 理 ， 反 射 点 处 的 切 线 与 入 射 光 线 反 射 光 线 所 成 夹 角 的 角 平 分 线 垂 直 .如 图 ， 已 知 抛 物 线
，一束光线从 点出发平行于 轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出， 轴，
设反射点分别为 ， ， 为坐标原点，过 ， 分别作 ， 的角平分线交于点 ，已知
的最小值为 2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若 ，则直线 的斜率为
C. 存在直线 ，使得 ， ， ， 四点共圆 D. 面积的最小值为 1
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 A 选 项 ， 设 直 线 ， 联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 ， 根 据 焦 点 弦 长 公 式 得
，从而得到 A 正确；B 选项， ，从而解得
，故 B 正确；C 选项，先得到 ，若点 ， ， ， 四点共圆，则 ，
利用向量数量积公式得到因为 ，故 C 错误，D 选项，作出辅助线，得到 轴，
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，得到 ，求出最小值.
【详解】A 选项，由题意得直线 过焦点 ，设直线 ，
联立直线 与抛物线方程可得
设 ，
则 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ， ，故 A 正确；
B 选项，由 A 知， ，
则 ，
解得 ，故 B 正确；
C 选项， ， ，
所以 ，
如果点 ， ， ， 四点共圆，则 ，
， ，
因为 ，故 C 错误，
D 选项，过点 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
因为 ， 的角平分线交于点 ，所以 ， ，
故 ，
设 为 的中点，连接 ，则 轴，
因为 ，所以 ，
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由 A 知， ，由 B 知， ，
，
显然，当 时， 取得最小值，最小值为 1，D 正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分．
12. 已知点 、 ，则线段 的垂直平分线方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由线段 的斜率可计算出线段 的垂直平分线的斜率，又有 的中点是线段 的垂直平分
线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段 的垂直平分线方程.
【详解】线段 的斜率为 ，故线段 的垂直平分线的斜率为 ，
线段 的中点为 ，故线段 的垂直平分线经过 ，
由点斜式知，线段 的垂直平分线方程为： ，即 .
故答案为： .
13. 已知直线 将圆 的面积平分，过点 作圆 C 的切
线，切点为 N，则 __________________.
【答案】
【解析】
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【分析】先求出圆的圆心和半径，由于直线 将圆 的面积平
分，所以可得直线 过圆心 ，从而可求出 的值，再利用勾股定理求出 的值.
【详解】由圆 ，即 ，
则圆心 ，半径为 ，
因为直线 将圆 的面积平分，
所以圆心 在直线 上，
则 ，解得 ，故 ，
则 ，
所以 ．
故答案为： .
14. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点（其中
点 位于第一象限），圆 与 内切，半径为 ，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆 与 分别切于 ，利用圆的切线性质和双曲线定义可求得 ，同时知
为 的角平分线，设直线 的倾斜角为 ，可求得 ，结合双曲线渐近线的倾斜
角可确定 的范围，由此可确定 的范围.
【详解】由双曲线方程知：实半轴长 ，虚半轴长 ， 且 ，
设圆 与 分别切于 ，如下图所示：
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由圆的切线性质知： ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
设 ，则 ，解得： ，
由切线性质可知： 与 横坐标都为 ，
由三角形内切圆的性质知： 为 的角平分线，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
，
，
双曲线 渐近线为： ， 其倾斜角分别为 和 ，
又直线 与双曲线的右支交于 两点， 直线 的倾斜角 范围为 ，
则 ， ， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的参数范围的求解问题，解题关键是能够将所求的 表示为关于
直线 倾斜角 的函数的形式，根据 的范围，结合正切函数值域的求解方法可求得范围.
四、解答题：本题共有 5 小题，共 77 分．
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15. 数列 满足 ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证；
（2）根据等差数列的通项求出数列 的通项，即可得解.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列；
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ．
16. 已知圆 C 经过三点
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 ，求直线 l 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可；
（2）由弦长公式可得圆心 C 到直线的距离 d，分直线 的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线 的方程，
由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线 的方程．
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【小问 1 详解】
设圆 C 的方程为： ，
将 代入圆的方程得 ，
解得 ， ， ，
所以圆的方程为： ，
即圆 C 的标准方程为： .
【小问 2 详解】
由（1）可得圆心 ，半径 ，
设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，由题意可得 ，
可得 ，即 ，
当直线 l 的斜率不存在时，则过点 的直线 ，
此时圆心 C 到直线 距离为 ，符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，
设过点 的直线 l 的方程为 ，即 ，
则圆心 C 到直线 l 的距离 ，解得 ，
即直线 l 的方程为 ，即
综上所述，直线 的方程为： 或
17. 已知双曲线 ，焦点为 ，其中一条渐近线的倾斜角为 ，点 在双
曲线上，且 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 交 于 两点，若 的面积为 ，求正实数 的值.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程.
（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案.
【小问 1 详解】
由条件知， ，
故 .
即双曲线标准方程为 .
【小问 2 详解】
设 ， 到直线 的距离为 ，
联立 得 ，
由 ，解得 ，
又 ，故 ，
而又由 ，
故弦长 ， ，
又 ，
解得 ， ，
又 ，故 .
18. 拋物线 焦点为 ，第一象限内点 在 上，A 的纵坐标是 .
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（1）若 到焦点 的距离为 3，求 ；
（2）若 ， 在 上，且 的重心恰为 ，求直线 的方程；
（3）直线 ，令 是第一象限 上异于 的一点，直线 交 于 是 在 上的投影，若点
满足“对于任意 都有 ”，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）直线 的方程为
（3） 的取值范围为
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出 ，进而求出 ；
（2）先求出点 的坐标，设点 ，根据重心公式，求得 ，再利用点差
法求得 ，又线段 中点在直线上，由点斜式即可得到直线 的方程；
（3）设点 ，求得直线 的方程，再与直线 联立得到点 坐标，则可得 得
表达式，转化为不等式 恒成立问题，即可解出 的取值范围.
【小问 1 详解】
根据题意作图如下：
由已知，得拋物线 ，则准线为 ，焦点 ，且点 在第一象限内，
设点 .
所以 ，解得 ，代入抛物线方程，解得 ，
所以 .
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【小问 2 详解】
根据题意作图如下：
由已知 ，代入抛物线方程 ，解得 .
设点 ，又 的重心为 ，
则 ，解得 ，
又 在 上，则 ，两式相减，得 ，
即 ，则直线 的斜率 .
又线段 的中点 ，即 也在直线 上，
由点斜式，得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
【小问 3 详解】
根据题意作图如下：
由已知设 且 与 不重合，
第 17页/共 20页
由两点式，得直线 的方程 ，即 ，
因为直线 交 于 ，联立 ，得点 .
又 为 在 上的投影，所以 ，
所以 ，化简得 ，
即 对于任意 恒成立，
则当 时，不等式左边取到最小值，
得 ，结合 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
19. 已知椭圆 经过点 ，长轴长是短轴长的 2 倍.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设垂直于 轴的直线 交椭圆 于 两点，试求 面积的最大值；
（3）过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆 于另两点 ，若 ，求证：直线 恒过定
点．
【答案】（1）
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ， 即可求解；
（2）设 ， ，则 ，根据点在椭圆上与基本不等式可得结果；
（3）分别设出直线 ， ，与椭圆方程联立，解出 的坐标，从而得 的方程，进而可得结果．
【小问 1 详解】
由题知，椭圆焦点在 轴上，
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又过点 ，所以 ，
又长轴长是短轴长的 2 倍，所以 ，
则椭圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ， ，则 ，
又 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
从而 ，即 面积的最大值为 ；
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ， ，
由 消去 ，得 ，显然 ，解得 或
∴点 ，同理，有 ，而 ，∴ ，
∴直线 的方程为
即 ，
令 ，则 ，
第 19页/共 20页
所以，直线 恒过定点 ．
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