浙江省金华市2025_2026学年高一数学上学期12月阶段性联考试题含解析

这是一份浙江省金华市2025_2026学年高一数学上学期12月阶段性联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 已知函数 ，记 ，则， 下列说法正确的是， 函数 ，下列四个选项正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共 8 小题每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 是第几象限角（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】由 终边相同，即可判断.
【详解】 ，
故 终边相同，
又 ，第一象限的角，
所以 是第一象限的角，
故选：A
2. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】利用交集定义计算即可得.
【详解】由 ，故 .
故选：B.
3. 命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得“ ， ”是真命题，分 、 两种情况讨论，分别计算
可得.
【详解】由题可得“ ， ”是真命题，
当 时，不等式为 ，显然成立；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 取值范围为 .
故选：C.
4. 已知实数 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】构建 ， 结合函数单调性解不等式，进而分析充分、必要条件.
【详解】因为 在定义域 内单调递减，
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可知函数 在定义域 内单调递减，
若 ，即 ，可得 ，
所以 等价于 ；
又因为 在定义域 内单调递增，
若 ，即 ，可得 ，
所以 等价于 ；
综上所述： 等价于 ，
所以“ ”是“ ”成立的充要条件.
故选：B.
5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为 ，半径为 2，将这张扇形纸片折叠，使点 与点 恰好重合，折痕
为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意可知 ，所以 是等边三角形，
所以 ， ,
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所以扇形 的面积为 ， 的面积为 ，
又半圆的面积为 ，
所以图中阴影部分的面积为 .
故选：B.
6. 已知某种塑料经自然降解后残留量 与时间 （单位：年）之间的关系式为 ，其中 为初
始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的 ，则至少需要（ ）（参考数据：
）
A. 3 年 B. 4 年 C. 5 年 D. 6 年
【答案】D
【解析】
【分析】利用给定条件建立不等式，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意得 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
则至少需要 6 年，故 D 正确.
故选：D
7. 已知函数 ，若 存在最小值，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论 、 、 、 ，结合一次函数、指数函数的单调性判断 的单调
性、值域，结合 存在最小值确定参数范围.
【详解】当 时， 在 上单调递减，最小值为 ，
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此时 在 上单调递增且值域为 ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 时， 存在最小值 ，
当 时， 在 上单调递减，最小值为 ，
此时 在 上单调递增且值域为 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 时， 存在最小值 ，
当 时， 在 上为常数函数，
此时 在 上单调递增且值域为 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，则 ，显然 无最小值，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， ，显然 不可能存在最小值，
综上， 存 最小值，则 .
故选：D
8. 已知函数 ，记 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的性质可知 与 有相同的单调区间及相同的
对称轴，将 转化到同一个单调区间即可比较函数值的大小.
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【详解】对于方程 ，其根的判别式 ，
所以 无实数解， 恒成立，即 的定义域为 .
根据复合函数的性质可知 的图象与 的图象有相同的对称轴 ，
且在 上单调递减，在 上单调递增.
而 ，所以 .
因 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
二､多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 恒过定点
B. 函数 与 的图象关于直线 对称
C. ，当 时，恒有
D. 若幂函数 在 单调递减，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由对数函数的性质可判断 A；由反函数的性质可判断 B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，
可判断 C；由幂函数的性质可判断 D.
【详解】对于 A，函数 恒过定点 ，故 A 错误；
对于 B，函数 与 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
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对于 C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，
所以 时，恒有 ，故 C 错误；
对于 D，由幂函数性质可知，幂函数 在 单调递减，
则 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 函数 ，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以 为周期的函数
B. 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递增
D. ，使得 有解
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象逐项判断即可.
【详解】由
令 ，当 ，可得 ，即 ，
当 ，可得 ，即 ，
作出函数图象如下：
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由图象可知 最小正周期为 ，A 错误，
是 图象的一条对称轴，B 正确，
在区间 上单调递增，再结合函数周期，
所以 在区间 上单调递增，C 正确，
由图象可知函数最小值为 ，
又 ，由 在 单调递增，
可得： ，
所以 ，使得 有解，D 正确，
故选：BCD
11. 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 满 足 ， 当 时 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 方程 在 的各根之和为 ，则
【答案】ABC
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【解析】
【分析】根据题意可知，函数的 关于原点对称且周期为 4，又 即可判断 A；结合
周期函数性质代入计算可得 B；根据函数 在区间 上单调递减，利用不等式即可证明 C 正确；结
合函数奇偶性、单调性，可表示出 在 、 、 、 与 上的根，结合
其在 上的根的范围即可得 D.
【详解】对于 A，由 是定义在 上的奇函数，则 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即 是以 为周期的周期函数；
又由 为奇函数，则 ，则 ， ，
又由 ，则 ，即 ，
则有 ， ，综合可得 ，A 正确；
对于 B，由 ，则 ，
则
，B 正确；
对于 C，
，所以 ，
又 ，
可得 在 上是减函数，又 ， ，
则 ，故 ，
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又由 ，则 ，
所以必存在 ，使得 ，即 ， ，C 正确；
对于 D，由 C 知， 在 上是减函数，且 ， ，
故 在 上是增函数， ，
又 ，则 ，即 ，
故 在 上有一根，设为 ，则 ，
由 为偶函数，则 在 上有一根，且为 ，
由 ，则 ，
故 是以 为周期的周期函数，
又 ，则 ，故 关于 对称，
又 是以 为周期的周期函数，则 关于 对称，
故 在 上有一根，且为 ，
又 是以 为周期的周期函数，
故 在 上有一根，且为 ，
在 上有一根，且为 ；
故 ，
由 ，则 ，D 错误.
故选：ABC.
非选择题部分
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________.
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【答案】
【解析】
【分析】由抽象函数的定义域求法求函数定义域.
【详解】由题设 ，可得 ，则 的定义域为 .
故答案为：
13. 若 ， ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到 的取值范围，代入等式化简 ，由基本不等式求得最小值.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
当 时，∴ ，
∴当 ， 时， 的最小值为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围是__________.
第 11页/共 20页
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，讨论 不同取值得到不同的不等式组，分离常数后通过函数在对应区间上的单调
性求得不等式右边最值，由不等式恒成立得到 的取值范围.然后将求得的区间取交集即为本题结果.
【详解】当 时， ，即 ，
∴ 恒成立，
取不等式左边得 恒成立，
令函数 ，则二次函数开口向下，且对称轴为 ，
∴ ，∴ ；
取不等式右边得 恒成立，
令函数 ，二次函数开口向上，且对称轴为 ，
∴ ，∴ 即 .
当 时， ，即 ，
∴ ，
取不等式左边得 恒成立，
令 ，
由双勾函数的单调性可知 ，
∴ ，∴
取不等式右边得 恒成立，
由基本不等式可知 ，
第 12页/共 20页
当且仅当 ，即 时取等号，∵ ，∴ ，即 .
∵ .∴ .
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）4； （2） .
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简求值；
（2）根据对数的运算性质化简求值.
【小问 1 详解】
原式
.
【小问 2 详解】
原式
第 13页/共 20页
.
16. 已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据集合 的条件，得 ，解不等式即可；
（2）由题意， 得 ，分集合 是否为空集，根据子集关系进行求解即可.
【小问 1 详解】
由题得 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
①当 即 时，解得 ，满足题意；
②当 即 时，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围 .
17. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为 1 米，水轮圆心 距离水面 米.以圆心 为坐标原
点，平行于水面为 轴，垂直于水面为 轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈，如果当水轮上点 从水
中浮现时（图中点 ）开始计算时间.
第 14页/共 20页
（1）当 ，点 在转动过程中第一次使得 时，记水轮与 轴交于点 ，求此
时 的值；
（2）当 时，求点 距离水面的高度 米，表示为时间 秒的函数，并求点 第一次到达最高点所需
要的时间.
【答案】（1）
（2） ，4 秒
【解析】
【分析】（1）根据任意角定义可得 ，再由三角函数定义计算可得 ；
（2）由水轮旋转速度求出其角速度，再由三角函数定义求出表达式，解方程可求出相应时间.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
，
，
又由 ，则 ，
故 .
第 15页/共 20页
【小问 2 详解】
水轮每分钟逆时针转动 5 圈，则每秒逆时针转动 ，
由 ，可得 ，
可知 秒后点 ，
则点 到水面的高度为 ，
当第一次到达最高点时，即 时， ，
即可得
故点 第一次到达最高点所需要的时间为 4 秒.
18. 已知函数 ，函数 ，其中 .
（1）请探究 与 之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；
（2）求函数 的零点；
（3）解关于 的不等式： .
【答案】（1） ，证明见解析
（2）零点为 0 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）通过平方差公式探究 与 、 的关系；
（2）利用（1）的结论代入函数 ，求解零点；
（3）将 、 代入不等式，结合函数性质分情况讨论求解.
【小问 1 详解】
由 ，
故 ；
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【小问 2 详解】
由（1）知 ，代入 得： ，
又 ，
代入得： ，
所以 ，解得： 舍去
，故 的零点为 0；
【小问 3 详解】
因为 ，
，
，
，
即 ，
当 ，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 .
19. 已知 ，函数 .
（1）若 ，判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（2）若 ，求 的值域；
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（3）若存在 ，使 ，求 的取值范围.
【答案】（1）函数在 单调递减，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性定义判断证明；
（2）当 时， ，换元令 ，结合函数单调性求出值域；
（3）令 ，问题转化为 存在 使之
成立. 令 ，则存在 为方程 的解，分 和
讨论求解.
【小问 1 详解】
在 上单调递减，证明如下：
当 时， ，任取 ，
则 ，
， ，则 ，
所以 ，可得 ，
在 单调递减.
【小问 2 详解】
当 时， ，令 ，
则 ，
第 18页/共 20页
因为 在 上单调递增，可知 ，
故 ，即 的值域为 .
【小问 3 详解】
令 ，即 存在
使之成立.
令 ，则存在 为方程 的解.
①当 时， ，不符合题目要求，不成立.
②当 时，原方程同解于 ，令 ，则 ，
所以 ，存在 使之成立.
设 ，原问题转化为存在 使 成立.
当 时，函数 变为 ，显然不合题意；
当 ，即 时，函数 在 和 上单调递增，
易知 为奇函数且有两个零点为 和 ，如图，
所以当 时，必有 ，可得 ：
第 19页/共 20页
或当 ，即 时，符合题意.
综上， .
第 20页/共 20页