浙江省台州市2025_2026学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析

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考生须知：
1.考试范围：选择性必修第一册第一章至第三章 3.3.1（抛物线方程）
2.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
3.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
选择题部分
一､选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符
合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定 直线方程，直接求出倾斜角作答.
【详解】直线 垂直于 x 轴，所以直线 的倾斜角为 .
故选：C
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在 轴上，且 ，即可求解双曲线的渐近线方程．
【详解】由双曲线 ，可知双曲线的焦点在 轴上，且 ，
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所以其渐近线方程为 .
故选：B．
3. 已知两条平行直线 ，则 和 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由两平行线间距离公式求解即可；
【详解】 ，
所以由两平行线间的距离公式可得 ，
故选：D
4. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.
【详解】由已知可得 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 .
故选：D.
5. 如图，在四面体 中， ， ， ， ， 为线段 的中点，则 等
于（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求解．
【详解】由已知
，
故选：D．
6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，
且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为 4， ， ，
， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 2 和 4，对应的圆心角为 90°，则图
中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】图，
设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ， ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
，
又异面直线所成角的范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A．
7. 在平面直角坐标系 中，一道光线沿直线 ： 经 轴反射，反射光线 与圆 ：
恰有一个公共点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知直线 过定点 ，斜率为 ，根据直线与圆相切列式求解即可.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
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因为直线 ： 即为 ，
令 ，可得 ，即直线 过定点 ，
根据对称性可知，直线 过定点 ，斜率为 ，
则直线 ： ，即 ，
则 ，整理可得 ，解得 .
故选：C.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆交于 两点，若
，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，根据椭圆的定义可得 ， ，结合勾股定
理列方程可得 ，进而结合余弦定理可求得 ，进而求解即可.
【详解】因为 ，设 ，如图所示，
由椭圆的定义可知， ，则 ，
同理 ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，化简可得 ，
则 ，则 （舍去）或 ，
所以 ，所以 为椭圆的上（或下）顶点，
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又 ，
所以 中， ，解得 ，即 .
故选：A
二､多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题列出的四个备选项中至少有一
个是符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过点 B. 直线的斜率为
C. 直线的纵截距为 3 D. 直线不经过第一象限
【答案】BD
【解析】
【分析】利用代入法判断 A；将直线的一般式化为斜截式方程判断 BC；画出图象判断 D.
【详解】已知直线 ，即 ，
则直线的斜率为 ，纵截距为 ，B 正确，C 错误；
再令 ，得 ，所以直线不过点 ，A 错误；
作出直线，可知直线不经过第一象限，D 正确.
故选：BD
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10. 已知圆 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 圆心坐标为
B. 过点 引圆的两条切线，切点记为 ，则四边形 的面积为
C. 若经过点 的直线 与圆 相交，且弦长为 4，则直线 方程为
D. 圆 上恰有三个点到直线 的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，将圆的一般方程化为标准方程即可判断；对于 B，由题意，可得 ，
，求出 ， ，进而求解判断即可；对于 C，当直线 的斜率不存在时直
线 也满足题意，进而判断即可；对于 D，先求出圆心 到直线 的距离为 ，再结合圆的半
径即可判断.
【详解】对于 A，由圆 ，即 ，
则圆心为 ，半径为 ，故 A 正确；
对于 B，由题意， ，且 ，
而 ， ，
则 ，
则四边形 的面积为 ，故 B 正确；
对于 C，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时直线 与圆 相交于点 ，弦长为 4，满足题意，故 C 错误；
对于 D，圆心 到直线 的距离为 ，
由于 ，则圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，故 D 正确.
故选：ABD
11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质
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是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知 分别为双曲线
的左､右焦点， ，点 的坐标为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线 的离心率为 2
B. 若从 射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C.
D. 过双曲线左支上 点作双曲线的切线交 轴于 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，根据题意求离心率即可；对于 B，由题意知反射光 所在直线为直线 ，斜率介于两
条 渐 近 线 斜 率 之 间 ； 对 于 C， 可 得 ， ， 直 线 的 斜 率 不 存 在 ， 进 而 得 到
，然后可得 ；对于 D，可设切线方程
，联立得到点 坐标即可求解．
【详解】对于 A，双曲线 ，焦点 轴，
则 ，
所以双曲线 的离心率 ，故 A 错误；
对于 B，如图：反射光 所在直线为直线 ，
根据双曲线的性质可知 斜率介于两条渐近线斜率之间，
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又渐近线斜率 ，
所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为 ，故 B 正确；
对于 C，由题意得 ，又 ， ，
则 ， ，直线 的斜率不存在，
所以 ，
，又 ,
所以 ，故 C 正确；
对于 D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为 ，
联立 得： ，
，解得 ，
即切点 的纵坐标 ，
，解得 ，
又点 在左支上，所以 ，
，故 D 错误；
故选：BC．
非选择题部分
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若向量 ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标计算可得 ，进而结合模的坐标公式求解即可.
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【详解】由 ，则 ，解得 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
13. 已知 F 是抛物线 C： 的焦点，P 是抛物线 C 上一动点，Q 是曲线 上
一动点，则 的最小值为______
【答案】5
【解析】
【分析】由抛物线定义，将 最小值转化为点 所在圆的圆心到准线的距离减圆半径.
【详解】曲线 ，即 ，
设其圆心为 ，则 .
抛物线 的准线 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 .
当 共线时， 最小，此时最小值为点 到直线 的距离.
设 到直线 的距离为 ，则 ，
则 的最小值为 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .
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14. 若 为平面上两个定点，则满足 为常数的动点 的轨迹是直线，满足 的动点
的 轨 迹 是 圆 .将 此 性 质 类 比 到 空 间 中 ， 解 决 下 列 问 题 .已 知 点 为 空 间 中 四 个 定 点 ，
，且 两两的夹角都是 ，若动点 满足 ，动点 满足
，则 的最大值是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据类比性质，可知动点 的轨迹是过 的终点 且垂直 的平面 ，动点 的轨迹
是以线段 为直径的球 ，从而 的最大值就是球心 到平面 的距离 加上球的半径 ，再对距
离与半径进行计算即可.
【详解】如图，由题 ，当 与 共线时，则 ，即 ，此时的点 记作
点 ，则 ，
所以动点 的轨迹是过 的终点 且垂直 的平面 ，动点 的轨迹是以线段 为直径的球 ，
的最大值就是球心 到平面 的距离 加上球的半径 .
.
，
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.
故答案为： .
四､解答题（本题共 5 小题；其中第 15 小题 13 分，第 16 小题 15 分，第 17 小题 15 分，第 18
小题 17 分，第 19 小题 17 分；共 77 分）
15. 已知点 ，
（1）求 的面积；
（2）是否存在点 ，使四边形 为直角梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在， 或
【解析】
【分析】（1）先求直线 方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可；
（2）分 和 两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可
【小问 1 详解】
，则 ，
即 ， ，
点 到直线 的距离 ，
则 ；
【小问 2 详解】
设点 ．
， ，
与 不垂直，
若 ，则 ，
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，解得 ，
点 ．
若 ，则 ，
，
解得 ， 点 ，
综上，存在点 ，使四边形 为直角梯形， 或 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得 ，根据线面平行判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出向量 的坐标，平面 的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向
量公式求解线面角的正弦值即可.
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【小问 1 详解】
如图，连接 与 相交于点 ，连接 ，
正方形 的对角线 和 交于点 ，
又 ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
【小问 2 详解】
如图，因为平面 平面 ，平面 平面 ，过点 在平面 内作 的垂
线 ，可得垂线 垂直于平面 ，
又因为 ，则以 为坐标原点，向量 ， 方向分别为 ， 轴的正方向， 为 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，
又由 ， ， ，可得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设平面 的法向量为 ，由 ， ，
有 ，取 ， ， ，可得平面 的一个法向量为 ，
又由 ，有 ，
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
17. 如图，2025 年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地 （包含边
界和内部）， 长为 12 米， 为场地中间分割线，在距离 点 6 米的 处放置一只机器犬，在距离
点 3 米的 处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地
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内沿着直线方向同时到达场地内某点 （即 ），则机器犬将被机器人捕获，点 叫成功点.
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点 的轨迹方程；
（2）现准备在 点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，
请问信号范围至少为多少米？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设 ，由 求解；
（2）设出 C 为圆心的圆的方程，由两圆内含或内切求解.
【小问 1 详解】
建立如图所示平面直角坐标系：
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
成功点 的轨迹方程为 ；
【小问 2 详解】
由（1）知： ，
设以 C 为圆心的圆的方程为 ，
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因为信号覆盖追踪机器犬被捕获的过程，即覆盖成功点 ，
所以两圆内含或内切，
所以 ，解得 ，
所以信号范围至少为 米.
18. 已知椭圆 ，焦距为 ，椭圆上的点到两焦点的距离之和为 4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过右顶点 的直线与椭圆的另一个交点为 ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 不重合），
直线 与 轴的交点分别为 和 .若 ，求线段 的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，解方程组即可求解；
（2）设 ，进而求出 坐标，再根据 可求出 ， ，进而求解即
可．
【小问 1 详解】
由题意得， ，解得 ，
则椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
如图：
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设点 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，
同理直线 的方程为 ，令 ，得 ，
又 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由题意知， ，则 ，所以 ，则 ，
所以 .
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲
率为 ，其中 为多面
体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的
所有以 为公共点的面.已知三棱锥 如图所示.
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（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 平面 为 中点，三棱锥 在顶点 处的离散曲
率为 .求点 到平面 的距离；
（3）在（2）的前提下，又知 为侧面 内一动点，记二面角 为 ，直线 与平面
所成角为 ，若 ，求三棱锥 体积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由离散曲率的定义求 、 、 、 ，即可得；
（ 2） 由 线 面 垂 直 的 性 质 和 判 断 得 ， 结 合 求 得
，由 为中点，确定 的长，结合三棱锥等体积转换求解点 到平面 的距
离即可；
（3）根据已知条件与二面角、线面角的定义，推出点 在平面 上的射影 的轨迹是以 为焦点，以
为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥 体积的最大值．
【小问 1 详解】
由离散曲率的定义得：
，
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，
，
，
所以 ，
故三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和为 ；
【小问 2 详解】
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
又 ，
即 ，
解得 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
则 为等腰直角三角形，所以 ， ，
因为 为 中点，所以 ， ，
又 ，所以 ，
因为 ，则 ，
则 ，故 ，
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设点 到平面 的距离为 ，
在三棱锥 中，有 ，
所以 ，则 ，
故点 到平面 的距离为 ；
【小问 3 详解】
如图，作 平面 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
又 、 平面 ，
所以 ，所以 ，
由抛物线定义知，点 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
取 的中点为 ，如图以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直
角坐标系，
则 ， ，
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则以 为焦点，以 为准线的抛物线方程为 ，
故点 的轨迹为该抛物线在三角形 内部部分，即图中 的曲线部分，
直线 斜率为 ，则直线 方程为： ，
联立 ，解得 或 （结合图形舍）
即 ，
当 与 重合时，此时可得 在 上，使得 取最大值，
的最大值 满足： ，
所以 ，
三棱锥 体积的最大值为 ．
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