【数学】浙江省金兰教育合作组织2025-2026学年高一上学期期中联考试题（学生版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由集合，，得.
故选：D.
2. 设，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】且，则，但，不能推出且，
例如：，满足，但.
故选：.
3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】B
【解析】对于A，中，中，
即两个函数定义域不同，A不是；
对于B，与定义域都为，且，B是；
对于C，中，而中，
即两个函数定义域不同，C不是；
对于D，与定义域都为，
而，即对应法则不同，D不是.
故选：B.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题定义域为关于原点对称，
且，故是奇函数，故A错；
当时，，
又是增函数，在上是增函数，
故在上是增函数，故BC错；
故选：D.
5. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，不等式显然不成立，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
，
不等式显然不成立，故选项C错误；
不等式成立的条件为，，故选项D错误.
故选：B.
6. 已知函数且，则（ ）
A. B. C. 9D. 3
【答案】C
【解析】由题意知，
所以，所以.
故选：C.
7. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，所以，
所以函数关于轴对称，又函数在上单调递增且，
所以函数的草图如下：
所以不等式等价于：
①，
②，
所以不等式的解集为.
故选：C.
8. 已知，均为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，，令，则，，
所以，
所以当时，，
令，，
则函数的对称轴为，
所以当时函数有最小值，
即，当且仅当且时取等号；
所以.
故选：A.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 对于实数、、、，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】AB
【解析】由不等式的性质可知AB正确；
对于C选项：当时，，C错误；
对于D选项：当时，，此时，D错误.
故选：AB.
10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 函数的单调递减区间为和
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，
所以A选项正确.
则当时，，
当时，，，所以B选项错误.
由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示，
由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确.
不等式的解集为，D选项正确.
故选：ACD.
11. 若关于的不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意可知，，得，，
因为，所以，故A正确；
，即，，故B正确，
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：___________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】令，因为指数函数在R上单调递增，
所以有，而，
因此函数的值域为.
故答案为：.
14. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为_____．
【答案】
【解析】由题意得，，整理得．
设，则，
再设，则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，所以，即实数的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，或，
所以.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
①当时，，满足题意；
②当时：；
综上所述：实数的取值范围为.
16. 已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）已知恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
所以，当且仅当即时等号成立，
因为，
所以，解得即，
所以的最小值是16；
（2）因为，，
所以，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为9，
又恒成立，则，化简得，解得或,
所以m的取值范围是.
17. 已知函数是上的奇函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在上的最小值为10，求实数的值.
解：（1）因为函数是上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时恒成立.
所以.
（2）由（1）知，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，所以.
令，，
所以在上的最小值为10，
等价于在上的最小值为10，
二次函数，开口向上，对称轴，
①当即，在上单调递增，
所以.
②当即，在上单调递减，在上单调递增，
所以，方程无解.
综上所述：.
18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
（1）求的值，并写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
解：（1）将，，三点代入，
得，解得，
即
依题意，.
（2）由（1）
当时，，
则当为时，取得最大值60万元；
当时，
，
当且仅当时，即时取得等号，
此时取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.
19. 已知函数，其中为常数.
（1）当时，写出函数的单调递增区间；
（2）当时，解不等式的解集；
（3）若在上存在2025个不同的实数，且，使得，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
由二次函数的图象与性质可得：函数的单调递增区间为和.
（2）当时，，
当时，，即，解得，所以；
当时，，即，解得.
综上，当时，解不等式的解集为.
（3），
①当时，时，，
由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增，
所以
，
令，解得；
②当时，时，，
由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增，
所以
，
令，解得；
③当时，，
由二次函数的图象与性质可得：函数在和上单调递增，
在上单调递减，所以，
不妨设，
，其中，
则
，不满足条件；
④当时，时，，
由二次函数的图象与性质可得：
函数在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，
其中，
所以
，不满足条件.
综上，实数的取值范围为.