浙江省杭州市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份浙江省杭州市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解.
【详解】由，，得.
故选：B
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断.
【详解】“”化简得，
所以“”可以推出“”，
“”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断.
【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确；
对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误；
对于C，因为，所以，又，所以，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：B.
4. 已知幂函数在上单调递减，则函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求得，代入得出的解析式以及单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，解得，
所以，，.
所以，在区间上单调递增，
所以，在处取得最小值.
故选：D.
5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
6. 若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.
【详解】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，
故其值域为，而，则值域为；
当时，，
当时，，对称轴且开口向上，
则在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C.
8. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因，
所以，
令，
因为都是正数，
所以即，
且，同时，
所以
当且仅当时等号成立，此时.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A错误；
对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B正确；
对于C，函数定义域为R，，是偶函数，
且当时，，则其在上单调递增，C正确；
对于D，因为，，则，不偶函数，D错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B. 的最小值为1
C. 的最大值为2D. 最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用得到；
C选项，配方法得到，从而求出最大值为1；
D选项，变形后利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，无最小值，故A错误；
因为，所以，故B正确；
，所以的最大值为1，C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：BD
11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在区间上单调递减
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值.
【详解】由为奇函数，则，即，
由，则，故，
所以，故，A对；
由，知图象关于对称，
由，知图象关于点对称，且，
当时，，即在上单调递增，
所以在、上单调递减，即在上单调递减，
若，则，结合周期性知，
所以在区间上单调递减，B对；
由，C错；
由，则，，
所以，又，
，D对.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意先求出，再求即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：1
13. 函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数定义域，在讨论的单调性，再由是增函数可得．
【详解】设，由，得或，所以函数的定义域为.又因为在其定义域内为增函数，且在上为减函数，在上为增函数，所以函数在上为减函数，在上为增函数.所以其单调递增区间为.
故答案为：．
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题第一步应先求函数定义域，然后结合复合函数单调性求得单调区间．
14. 若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围.
【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中，
因为，所以，
则方程的两根为，方程的两根为，
则 （数轴上，的中点是，
因为，
不妨设，，
因为，是的两根，
所以，，
再不妨设，
因为，是的两根，
则 ，，
所以，
则，又，
因为，则，
故的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合或
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出，再结合交集的定义计算即可；
（2）由可得或，解出即可.
【小问1详解】
因为，所以，
因为或，所以或；
【小问2详解】
因为，所以或，
或．
16. （1）计算；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；
（2）利用换底公式，对数运算法则及性质进行计算.
【详解】（1）
；
（2）
.
17. 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值；
（2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围．
【小问1详解】
，由于恒成立，
所以函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为；
【小问2详解】
若对于任意，存在，使得不等式成立，
则恒成立，
令，当时，，
所以，所以当时，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
18. 某公司计划从甲、乙两种方案中选择一种方案，进行广告宣传拓展业务．市场调研表明，采用甲方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，乙方案的宣传费用（单位：十万元）与其利润（单位：百万元）之间的关系是，对于，用表示，中的最大者，记为．
（1）求的解析式；
（2）已知该公司的宣传费用预算为（单位：十万元），以利润为决策依据，请问该公司应投入多少宣传费用（单位：十万元）？并求出相应的利润（单位：百万元）．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用作差法分别判断各范围内两函数的大小关系，可得；
（2）根据函数的单调性分情况讨论，判断函数的最值.
【小问1详解】
当时，，，
令，即，解得，
即当时，恒成立，；
当时，，，
令，即，解得或，
即当时，，，
当，，；
当时，，，
所以在时恒成立，，
综上所述，；
【小问2详解】
由（1）得，
可知函数在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，令，解得，
所以当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，应投入（十万元），此时利润为；
当时，由，所以应投入（十万元），此时利润；
综上所述，当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润；
当时，应投入（十万元），此时利润.
19. 已知是定义在上奇函数.
（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；
（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域；
（3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；在上单调递增；
（2），；
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解；
（2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域；
（3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
当时，，函数的定义域为关于原点对称，
且，满足是奇函数，
又由，
任取且，
则，
因为，可得且，
所以，即，所以函数是上的单调递增函数.
【小问2详解】
解：由（1）得，
可得，
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
可得，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以函数的值域为.
【小问3详解】
解：由在区间[1，2]上任意三个实数，
都存在以为边长的三角形，
等价于且恒成立，
①当时，即，符合.
②当时，在上单调递减，
所以，
由且，即且，
解得，又因为，所以.
③当时，在上单调递增，
所以，
由且，即且，
解得，又因为，所以.
综上所述，实数的取值范围为.