浙江省台州市十校联盟2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析

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2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角.
【详解】由直线过，两点，可得不存在，
所以直线方程为，倾斜角为.
故选：C.
2. 已知圆C的方程为，则圆C的半径为（ ）
A. B. 2C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】化圆的一般式为标准式得圆C的半径.
【详解】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，
故选：C
3. 如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.
【详解】因为在平行六面体中，是的中点，
所以.
故选：A.
4. 圆和圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 内切D. 内含
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断位置关系.
【详解】由的圆心为，半径为，
由的圆心为，半径为3，
所以圆心距为，即两圆外切.
故选：B
5. 平面四边形中，若，则实数组可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间四点共面的性质逐项判断可得.
【详解】由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：A.
6. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义即可求解.
【详解】由条件可得，解得.
故选：D.
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线经过定点
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况.
【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，，
所以围成的三角形面积为，故A正确；
对于B，点和的中点在直线上，
且连线的斜率为，可得与直线垂直，
所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对于C，令，解得，
可得直线经过定点，故C正确；
对于D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误.
故选：D.
8. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围．
【详解】曲线即，
即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线即恒过定点，
作出直线与半圆的图象，如图，
考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．
据此可得，实数的取值范围是．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为10B. 椭圆的一个顶点为
C. 椭圆的焦距为8D. 椭圆的离心率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由椭圆的长轴长、顶点、焦距、离心率的定义逐一判断即可.
【详解】由题意可得，
对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确；
对于B，椭圆的顶点为或，故B错误；
对于C，椭圆的焦距为8，故C正确；
对于D，椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ACD.
10. 给出以下命题，其中正确的是（ ）
A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面的法向量分别为，则
D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由两条直线的方向向量数量积为0可得两直线垂直判断A；由数量积为0可得或判断B；由平面向量不共线判断C；由法向量与平面向量数量积为0列和的关系判断D.
【详解】对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确；
对于B，，则，所以或，故B错误；
对于C，若，则，此方程组无解，所以不成立，故C错误；
对于D，，，因为向量是平面的法向量，
所以，得，，，故D正确.
故选AD
11. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案．
【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，平面，平面
所以平面，同理平面，，平面，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；

以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，设且，，
，，，

对于B，，即，
又，，则点的轨迹为线段，
，且，故B正确；
对于C，，
显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；
对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故不存在点满足，故D错误．
故选：ABC．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两条平行线和的距离为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】两条平行线和间的距离为.
故答案为：.
13. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据点到平面的距离公式直接计算.
【详解】由已知，，
则，
则，
故答案为：.
14. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是________．

【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由轴，即可得，可求得离心率为.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为，
如图所示则有，
直线方程为，代入方程可得，所以，
又，所以，
即，整理可得；
所以，即，
即可得椭圆的离心率为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.
15. 已知的三个顶点，，，求：
（1）边所在直线的方程；
（2）过点且与直线平行的直线方程；
（3）过点且与直线垂直的直线方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接由两点式可得；
（2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标可得；
（3）由两直线垂直得出其斜率，再由点斜式可得.
【小问1详解】
边所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
设与直线平行的直线方程为，
因为直线过点，所以，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
【小问3详解】
与直线垂直的直线的斜率为，
因为直线过点，所以，即.
16. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定即可得到结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，
分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
小问2详解】
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于A，B两点，求；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解；
（2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解.
【小问1详解】
设，因为，满足，即，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为.
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
所以.
18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；
（3）线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．
【小问1详解】
证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，，又，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，
取平面的一个法向量，
设平面的一个法向量,,，
因为，
则，
令，则，所以,,．
设平面与平面所成角的大小为，
则．
所以平面与平面所角的余弦值是．
【小问3详解】
设，
由（1）得，
则，
又，
设平面的一个法向量为，则，
当时，与重合，则平面即为平面，
易知平面与平面不垂直，故不符合题意。
当时，令，则，
故平面的一个法向量为
若平面平面，则，即，解得，
故，即.
故线段上上存在点，使平面平面，且.
19. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，利用椭圆的离心率可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知条件结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出面积的值或最大值；在直线的斜率不存在时，求出点、的坐标，可求得的面积，综合可得出结果.
【详解】（1）由椭圆的定义得，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆方程得，，
设、，则，，
由，得，得，
所以，
即，即，
所以或.
原点到直线的距离为，
①当时，则，
此时
，
当且仅当，即时等号成立；
②当时，，
此时；
当直线的斜率不存在时，设，则，
由，得，又，所以，.
不妨取，，则.
综上可知，面积的最大值是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．