北京市第六十五中学九年级上学期数学期中试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第六十五中学九年级上学期数学期中试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟满分100分
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．
【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．
4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照配方法解一元二次方程方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案.
【详解】解：方程即，
在方程的两边都加上9，得，
即.
故选D.
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键.
5. 如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是( )
A. 17°B. 34°C. 56°D. 68°
【答案】D
【解析】
【分析】欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解.
【详解】∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∠AOB＝2∠ACB＝68°，
故答案为：D.
【点睛】此题主要考查的是圆周角定理，解本题的要点在于熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
6. 将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：C．
7. 如图，将绕点O逆时针旋转60°后得到，若，，则（ ）
A. 25°B. 35°C. 45°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠D=∠A=110°，，∠AOD=60°，由三角形内角和可求∠DOE=25°，即可求∠AOE的度数．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转60°得到，
∴∠D=∠A=110°，，∠AOD=60°，
∵∠D=110°，∠E=45°
∴∠DOE=25°
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）

A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，，
即，是一次函数；
⊙A的面积为，即，是二次函数
故选C
【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____．
【答案】（2，﹣3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：∵点A和点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_________.
【答案】x≥4
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】由题意得x-4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________．
【答案】x=1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：设该方程的另一个根为a，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握提取公因式法、利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 若二次函数自变量x=2时，函数值有最大值，则这样的二次函数关系式可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定出顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出一个函数解析式即可．
【详解】解：∵二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值−1，
∴顶点坐标为(2,−1)，∴二次函数关系式可以是y=−(x−2)2−1.故答案为y=−(x−2)2−1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质并加以运用．
14. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：，
去分母得，，
解得，
检验：将代入，
∴原方程的解为．
故答案为：．
15. 某商厦10月份的营业额为50万元，第四季度的营业额为182万元，若设后两个月平均营业额的增长率为x，则由题意可得方程：_____．
【答案】50（1+x）2+50（1+x）+50=182
【解析】
【详解】根据题意可得十一月份的营业额为50（1+x）万元，十二月份的营业额为50（1+x）（1+x）万元，第四季度的营业额为50+50（1+x）+50（1+x）2，因此可得到方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=182，
故答案为50+50（1+x）+50（1+x）2．
16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．
【答案】 ①. A，B，C(答案不唯一) ②. A，B，E
【解析】
【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量，需取快递总数量，求解即可；
（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量，需取快递总数量的三个小区即可．
【详解】解：（1）∵A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5，
∴若前往A、B、C小区，需取快递数量为，
需取快递数量为，
∴前往A，B，C小区满足条件，
故答案为：A，B，C(答案不唯一)；
（2）前往A小区收益为：(元)，
前往B小区收益为：(元)，
前往C小区收益为：(元)，
前往D小区收益为：(元)，
前往E小区收益为：(元)，
∵，，，
∴他的最优方案是前往A、B、E小区收益最大，
故答案为∶A，B，E．
【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．
三、解答题（17-22每小题5分，23-26每小题6分，27、28每小题7分）
17. 解方程：．
【答案】x1=2，x2=5
【解析】
【分析】首先移项，把等号右边的式子变成0，然后把等号左边的式子分解因式，根据几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，即可转化成一元一次方程，从而求解．
【详解】解：移项得：（x-2）2-3（x-2）=0，
即：（x-2）（x-2-3）=0，
则（x-2）（x-5）=0，
则x-2=0或x-5=0，
则方程的解是：x1=2，x2=5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解方程的依据是：几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，解题的关键是正确分解因式．
18. 已知是方程的一个实数根，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，再变形为，然后将化简为代入计算即可得出答案．
【详解】是方程的一个实数根，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
19. 如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．
（1）画出△OA′B′；
（2）写出点A′的坐标；
（3）求BB′的长．
【答案】（1）如图所示见解析；（2）（-2，4）；（3）BB′=3．
【解析】
【分析】(1)根据旋转角度、旋转中心、旋转方向可确定各点的对应点,顺次连接即可得出.
(2)根据图形即可写出A点的坐标.
(3)利用勾股定理求解即可.
【详解】（1）如图所示；
（2）（-2，4）；
（3）∵OB=OB'，∠BOB'=90°，
∴BB'2=OB2+OB'2=2OB2=2×32=18．
∴BB′=32．
【点睛】本题考查旋转作图及勾股定理的应用,难度不大,关键是根据旋转的性质准确作出图形.
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得，；
解不等式②，得，，
所以，不等式组的解集为：
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
（1）根据题意，代入求解即可；
（2）求出或，代入方程求解即可．
【小问1详解】
解：依题意得
；
【小问2详解】
解：为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数，
当时，方程为的根，都是整数，
故．
22. 已知二次函数．

（1）二次函数图象与轴的交点坐标是 ，轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 ．
【答案】（1），；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；
（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围．
【小问1详解】
解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
令，解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是；
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
故答案为：，；；．
【小问2详解】
解：列表：
描点，连线，如图：
；
【小问3详解】
解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
23. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求证：是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理；
（1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论；
（2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是矩形．
24. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．
【答案】⊙O的直径为26寸
【解析】
【分析】连接OC，在Rt△COA中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：连接OC，
∵OB⊥CD垂足为A，
∴CA＝CD＝5，
设CO＝x，则AO＝x﹣1，
Rt△AOC中，∠CAO＝90°，
∴OA2+CA2＝OC2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
（1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系．
（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
【小问2详解】
解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
【小问2详解】
解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．
（1）依题意，补全图形，并证明：；
（2）求的度数；
（3）若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）画图和证明见解析；
（2）135° （3），证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用证明即可证明；
（2）连接，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到再证明由全等三角形的性质得到．则可以推出，利用三角形内角和定理即可得到；
（3）如图所示，延长至K，使得，连接．证明．得到，，则．进一步证明．得到．由此证明，得到．在等腰直角中，，则，即可证明．
【小问1详解】
解：补全图形，如图所示．
证明：∵ 线段绕点C顺时针旋转90°得到线段，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图所示．
由（1）可得是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵，
∴；
由可得．
∴．
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图所示，延长至K，使得，连接．
∵为线段的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由可得，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵在等腰直角中，，
∴．
∵，
∴．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下的定义：若上存在两个点、，使得，则称P为的关联点．已知点，，．
（1）当的半径为1时，
①在点、、中，的关联点是________．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使，若直线l上点是的关联点，请直接写出m的取值范围；
（2）若线段上的所有点都是某个圆的关联点，请直接写出这个圆的半径r的取值范围．
【答案】（1）①和；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据关联点得定义，先证明点是的关联点，进而证明、与的关系；
②若点刚好是的关联点，证明点到圆心的距离满足：，再考虑临界点位置的点，进而得出m的取值范围．
（2）设该圆圆心为，根据小问1中②可得，进而有，即可求出结果．
【小问1详解】
①如图1，过点作的切线，设切点为，过点作的切线，设切点为，连接
的半径为1
由对称性可知：上还有一个切点，使
此时存、，使
点是的关联点
，即
上肯定存在两点与点组成一个角大于
点是的关联点
，即
点不是的关联点
故、是关联点；
②如图，若点刚好是的关联点，设半径为，过点作的两条切线、，则
若点刚好是的关联点，则点到圆心的距离满足：
由题意知，考虑临界点位置的点即可，设、是临界点，过点作轴于，如下图
，
与G重合时，点到原点的距离
与G重合，
是临界点，则
，
是等边三角形
此时
若点是的关联点，则点必在线段上
．
【小问2详解】
设该圆圆心为，根据小问1中②可得，若点是的关联点，则
根据题意，、都是的关联点
，
（当点在线段上时，等号成立）
，
当点是的中点时，对所有的，线段上的所有点都是的关联点
综上所述：．
【点睛】
本题考查了圆的综合应用、切线的性质以及锐角三角函数等知识，正确分析临界点的位置是解题的关键．
小区
需送快递数量
需取快递数量
15
6
10
5
8
5
4
7
13
4
水平距离
2
3
6
8
10
12
竖直高度
4
5.4
7.2
64
4
0