北京市第四十四中学上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第四十四中学上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意，
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意，
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式即可确定抛物线的顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：C．
3. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A. y=2(x+1)2+3B. y=2(x－1)2－3C. y=2(x+1)2－3D. y=2(x－1)2+3
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线平移不改变a的值求解此题．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
故选：A．
4. 已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设另一根为，则有，即可解得另一根．
【详解】设另一根为，则根据根与系数的关系得，
解得，
故选：B．
5. 如图所示，内接于，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，由等边对等角，得到，进而得到，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
故选：B．
6. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. 当时，随增大而增大
C. D. 是一元二次方程的一个根
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向可以判断A，由二次函数的增减性可以判断B，由抛物线与轴的交点可以判断C，由抛物线与的交点和对称轴可以求出另一个交点，可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：A.根据图象可得，二次函数开口方向向下，
，故本选项错误，不符合题意；
B.根据图象可得，当时，随的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
C.根据图象可得，抛物线与轴交于正半轴，
，故本选项错误，不符合题意；
D.抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
设另一个交点为，
，
，
另一个交点为，
是一元二次方程的一个根，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数与轴的交点问题，熟记二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解决问题，是解此题的关键．
7. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
8. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为．
将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在上时，旋转角为；
②当第一次与相切时，旋转角为．
则结论正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. 均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键．
①当点C第一次落在上时，连接AO、BO、C′O，可证明是等腰直角三角形，B、C′、O三点共线，再求出，可得；
②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，∠BAC′=135°，，即可得出结论．
【详解】解：①当点C第一次落在上时，
连接AO、BO、C′O，
∵AO=BO=2，，
是等腰直角三角形，
，
又∵AO=C′O=2，AC′=AC=2，
∴AO2+C′O2=AC′2，
∴△AOC′是等腰直角三角形，
∴AO⊥OC′，
∴B、C′、O三点共线，
∵AB=AC′，
∴∠ABC′=∠AC′B=45°，
∴∠BAC′=90°，
，
∴∠CAC′=∠BAC′−∠BAC=30°，故①正确；
当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，
是正三角形，
，
，
，
，
，
∴∠OAM=45°，
∵∠OAC′=90°，
∴∠BAC′=135°，
∵∠C′AB′=60°，
∴∠BAB′=75°，
当第一次与相切时，旋转角，故②错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．
【答案】（1，3）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键．
10. 将二次函数用配方法化成的形式为y=__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法即可把一般式转化为顶点式．
【详解】，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两点式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
11. 已知m是方程的一个根，则代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整式的化简求值，解题关键是掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，能够使方程左右两边相等．根据一元二次方程的解的定义，得出，再将整式化简，整体代入求值即可．
【详解】解：m是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
12. 点，在抛物线上，则___.（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【解析】
【分析】先化成顶点式，直接将点的坐标代入进行计算，再判断即可．
【详解】∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
将，代入得到：=（-3-1）2-1=15，=（2-1）2-1=0，
y1＞y2
故答案为＞．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能把坐标代入抛物线是解此题的关键．
13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴
∴b2-a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件．
故答案为4，2（答案不唯一）
14. 如图，，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交，于点M，N．若，则的周长为______．

【答案】16
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键．
由切线长定理可得出答案．
【详解】解：，，是的切线，，
的周长为：
，
故答案为：16．
15. 如图，是二次函数的图象的一部分，有下面四个结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①④
【解析】
【分析】根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，由此即可判断①；由抛物线的对称轴为直线，可得，即可判断②；求得抛物线与x轴的另一个点为，代入二次函数的解析式可得，可判断③；根据直线与二次函数有两个交点即可判断④．
【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴，
，，
∴；结论①正确；
二次函数的对称轴为直线，
，结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点为，
则与x轴的另一个点为，
∴，结论③错误；
由函数图象可知，二次函数的最小值小于0，
∴直线与二次函数有两个交点，
∴关于的方程，有两个不相等的实数根，结论④正确；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出的数量关系，本题属于基础题型．
16. 平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______．
①图形G关于原点对称；
②图形G关于直线对称；
③图形G的面积为S，满足．

【答案】①③
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．
【详解】解：如图，

由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误；
观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积，
所以，图形的面积满足，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题：本大题共68分（第17题6分；18-23题，每小题5分；24-26题，每小题6分；27-28题，每小题7分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因式分解法解方程；
（2）因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
18. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，图象法求自变量取值范围；
（1）将，；，；，代入解析式，再根据顶点坐标公式，即可求解；
（2）根据函数图象即可求解；
掌握待定系数法和数形结合法是解题的关键．
【小问1详解】
解：由表格得
当，时；
当，时；
当，时；
，
解得：，
，
当时，
，
顶点坐标为；
故二次函数的解析式为，顶点坐标；
【小问2详解】
解：当时，
，
解得：，，
由图象得：
当时，或时，
故当时，x的取值范围为或．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【小问1详解】
证明：，
∵
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴，
∴．
20. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段；
（3）连接 ，，求出的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）8
【解析】
【分析】本题考查了利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，利用网格求三角形面积．熟练掌握利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，利用网格求三角形面积是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质作图即可；
（2）利用旋转的性质作图即可；
（3）根据，求解作答即可．
【小问1详解】
解：如图1所示，点即为所求；
【小问2详解】
解：如图2所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图3，连接，
∴，
∴的面积为8．
21. 下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．求作：过A点的⊙O的一条切线．
作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；
② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；
③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．
则直线AC是⊙O的一条切线．
请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB的中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（ ）（填推理的依据）．
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题给出的答案确定依据即可．
【详解】（1）补全图形如图所示；
（2）∵ OB=DE=2OD=2OC，
∴ 点C为OB中点．
∵ AO=AB，
∴ AC⊥OB（等腰三角形三线合一），
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线（过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：等腰三角形三线合一；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查圆的切线，掌握切线的判定是解题的关键．
22. 如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得；掌握垂径定理，添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，弦于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，根据勾股定理得，
，
，
，
，
∴．
23. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到；
（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理．
24. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E．
（1）求证：直线是的切线；
（2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论；
（2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：连接，交于点S，
∵为的直径，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点O作于F，延长交于M，
∵B为的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵半径为，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键．
25. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】（1）喷出水的最大射程为
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论．
小问1详解】
解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
【小问2详解】
解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．

（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，，由抛物线的对称轴为，得到关于对称轴对称的点的坐标为，即可写出答案；
（2）首先由，得到图象开口向下，满足，，可得到，求出点关于对称轴对称的点为，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，；
【小问2详解】
解：根据题意可知，当时，，
∵,
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为,
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，,，
∴解得，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，在中，，．是边上一点（不与点B重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）图形见解析；；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质；
（1）取的中点，连接，构造即可解决问题；
（2）过点作交于点，构造即可解决问题；
正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
在中，
是等边三角形
线段绕点逆时针旋转得到线段
即是等边三角形
，
即
【小问2详解】
如图，过点作交于点，
由（1）可知：
，
是的中点
，
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”．
（1）如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______；
（2）已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围；
（3）已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）和
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”．
（2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围．
（3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上，
因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围．
【小问1详解】
如图，
∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，
∴线段是以点为中心的“关联线段”；
∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，
∴若线段是以点P为中心的“关联线段”，
则与关于P点成中心对称，
则，
而的坐标只能是，
∴不可能在上，
∴线段不是以点P为中心的“关联线段”，
综上，以点P为中心的“关联线段”是和，
故答案为：和．
【小问2详解】
∵与点关于P点成中心对称，且P点x轴上，
∴点的纵坐标为．
又∵点在上，
∴点的坐标为，P点坐标为．
∵是的弦，
．
∵与F点关于对称，
．
【小问3详解】
∵P点在x轴上，
∴的对应点只能为．
∵P点是的中点，
．
将绕P点旋转得，
则，且F点在上．
又∵F点在直线上，
∴F点是和直线的交点．
当与相切于时，连接作轴，
设直线于x轴的交点为A点，
则，，
则，，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
将代入得，
，
解得．
当与相切于时，连接作轴于G点，
设直线于x轴的交点为B点，
则，，
且，，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
将代入得，
，
解得，
∴m的取值范围为．
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的小册子、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键．
x
…
0
1
2
4
…
y
…
8
3
0
3
…