北京市东城区第五十四中学2023~2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市东城区第五十四中学2023~2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8道小题，每题2分，共16分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故不符合题意；
B．含有2个未知数，故不符合题意；
C．是一元二次方程，故符合题意；
D．是分式方程，故不符合题意；
故选：C．
2. 抛物线y=2(x+3)2+4的顶点坐标是( )
A. (3，4)B. (-3，4)C. (3，-4)D. (-3，-4)
【答案】B
【解析】
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=-2（x+3）2+4为抛物线的顶点式，∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（-3，4），
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选：B．
5. 关于方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵方程中的，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根．
6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A. 3或1B. 或1C. 3或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于的一元二次方程的解．
【详解】解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，
则该函数与轴的另一个交点是，
即当时，时，，，
故关于的一元二次方程的解为，，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ）
A. ac＞0B. b+2a＜0C. b2﹣4ac＞0D. a﹣b+c＜0
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：A、由函数图象可知二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，即a＞0，交于y轴的负半轴c＜0，ac＜0，故本选项错误；
B、由函数图象可知对称轴x=﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0，故本选项错误；
C、由函数图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．故本选项正确；
D、由函数图象可知当x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，故本选项错误．
故选C．
8. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解．
【详解】解：∵中，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
当时，异号，
∴，
∴，选项A正确．
当时，，
∴选项B错误，
当时，，
∴，选项C错误．
当时，中有1个值为0即可，
∴选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（本题共8道小题，每题2分，共16分）
9. 点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】知道关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数即可解答本题．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
10. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入已知方程，求出a的值，根据一元二次方程的定义舍去不合题意的值即可．
【详解】解：把代入，得，
解得：，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
11. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 __．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可；
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线的解析式为，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∴这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．
12. 二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像找到x轴上方图像x取值范围即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图像可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据二次函数图像解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式的关系．
13. 若抛物线与x轴有且只有一个公共点，收k的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】由抛物线与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程，根的判别式，由此即可得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系，属于中考常考题型．
14. 某工厂年共生产件A型商品，年共生产件A型商品，设平均年增长率为x，根据题意可列方程______，解得______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意可列出方程为，即，然后求解该一元二次方程即可，注意增长率．
【详解】解：根据题意得：，即，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍），
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程方程的实际应用，解决本题的关键是找准等量关系、正确列出一元二次方程．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________．

【答案】40°##40度
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。
【详解】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
16. 抛物线的图象如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（m为一切实数）；⑤；正确的是______（填写序号）．
【答案】①⑤##⑤①
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点位置，确定的正负，即可①；抛物线的对称轴为，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点 ，得到另一个交点，把代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x轴有两个交点得到，即可判断⑤．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴是：
∴a、b异号，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴选项①正确；
②∵，，
∴
∴选项②不正确；
③抛物线与x轴的一个交点，则另一个交点为，
∴
把代入得：
∴选项③不正确；
④抛物线在时取得最大值，
∴，
即，
故选项④不正确；
⑤ ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
即
∴选项⑤正确；
综上所述，正确的有①⑤．
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18题~19题每题5分，第20~25题每小题6分，第25~27题每小题7分）
17. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）运用因式分解法求解；
（2）运用公式法求解；
【小问1详解】
解：，
，
或，
∴或．
【小问2详解】
解：，
，
∴．
∴
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，掌握求解方法是解题的关键．
18. 已知二次函数经过点，且当时，y取得最大值为1．
（1）直接写出该二次函数图象的顶点坐标为______；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）在坐标系中画出该二次函数的图象．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质可以得出顶点坐标；
（2）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）列表，描点，连线画出函数的图象即可．
【小问1详解】
当时，y取得最大值为1，
二次函数图象的顶点坐标是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：设二次函数解析式为：，
讲点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：
【小问3详解】
列表：
描点、连线画出函数的图象如图：
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二次函数图像上点的坐标特点，解题的关键是求出二次函数的解析式．
19. 关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则，据此计算即可求解；
（2）由（1）中m的取值范围，可取，此时一元二次方程为，求解即可．
【小问1详解】
解：一元二次方程有两个不相等实数根，，
，
；
【小问2详解】
解：取，则一元二次方程为，
，
或，
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与解法，熟练掌握其性质及解法是解题的关键．
20. 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；
（2）将点A、B、C分别绕点O顺时针方向旋转90°得到其对应点，顺次连接即可得；
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作.
【点睛】本题主要考查平移变换（在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动）和旋转变换（由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点换同一方向，转动同一个角度），熟练掌握平移变换、旋转变换的定义和性质是解题的关键．
21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在上图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．
（4）当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，结合点（-1，2）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）描点、连线，画出函数图象；
（3）找出函数图象在x轴上方的部分，此题得解；
（4）在y=x+n中，令x=-1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点（-1，0），（1，0），
∴设二次函数的表达式为，
∵二次函数经过点（-1，2），
∴-4a=2，
∴a=，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：描点、连线，画出图形如图所示．
；
【小问3详解】
解：观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，
∴当y＞0时，自变量x的取值范围为-3＜x＜1；
【小问4详解】
解：∵顶点坐标为（-1，2），
在y=x+n中，令x=-1代入可得y=-1+n，
∵抛物线的顶点在直线y=-x+n的下方时，
∴-1+n＞2，解得n＞3，
故答案为：n＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合交点坐标找出不等式的解集；（4）观察函数图象结合顶点坐标找出不等式的解集．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠BEF=65°
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；
（2）由全等三角形的性质以及三角形内角和定理可求解．
【小问1详解】
证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
【小问2详解】
解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵∠BDE=25°，
∴∠BEF=65°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）达到优秀
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接画出图象；
（2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；
（3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2），
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点A，有，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令，得，
解得，（C在x正半轴，故舍去），
∴ 点C的坐标为（，0），
∴ ，
由，可得，
∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式．
24. 某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
（1）研究发现，每天销售量与单价满足一次函数关系，求出与的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
【答案】（1）y＝﹣10x+800；（2）单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润单件利润销售量”可得关于的一元二次方程，解之即可得．
【详解】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得 ，
解得：，
每天销售量与单价的函数关系为：y＝﹣10x+800，
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.
【点睛】本题主要考查了一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．
25. 已知二次函数．
（1）直接写出二次函数图像的对称轴是直线______；
（2）若该二次函数的图像开口向下，且y的最大值是2，求抛物线的解析式；
（3）对于该抛物线上的两点，，当，时，总有，请结合函数图像，求出t的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式，进行计算；
（2）根据该二次函数的图像开口向下，且y的最大值是2得当时，y有最大值2，即可得，解得，将代入中，即可得；
（3）根据当，时，总有得当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，即可得，进行计算即可得．
【小问1详解】
解：二次函数图像的对称轴是：，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵该二次函数的图像开口向下，且y的最大值是2，
∴当时，y有最大值2，
∴，
，
，
∴抛物线的解析式为：；
【小问3详解】
解：∵当，时，总有，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与值，函数最值问题，解题的关键是掌握这些知识点．
26. 已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接．
（1）设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1），
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
A、E关于直线对称，
，．
，
．
，
．
．
．
【小问2详解】
线段，，之间的数量关系．
过C作于C交的延长线于点M．
A、E关于对称
．
．
．
．
又
．
．
．
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，对于图形G，若存在一个正方形，这个正方形某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖．如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形就是图形G的紧覆盖．
（1）对于一个圆心在坐标原点半径为2的圆，它的紧覆盖的边长为________．
（2）如图1，点P为直线上一动点，若线段的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．
（3）如图2，直线与x轴，y轴分别交于A，B．若在抛物线上存在点C，使得的紧覆盖的边长为3，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）4 （2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）由题意半径为2的的外切正方形是半径为2的紧覆盖，由此即可解决问题；
（2）由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段的紧覆盖的正方形的边长为2．分两种情形分别求解即可；
（3）如图2中，由题意当抛物线与图中矩形区域有交点时，在抛物线上存在点C，使得的紧覆盖的边长为3．
【小问1详解】
解：由题意半径为2的的外切正方形是半径为2的紧覆盖，
∴紧覆盖的边长为4，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：由题意当点P到坐标轴的距离等于2时，线段的紧覆盖的边长为2．如图1，
①当点P在第一象限时，作轴于H则，
时，，，
．
②当点在第四象限时，作轴，则，
当时，，
．
综上所述，满足条件的点P坐标为或；
【小问3详解】
解：如图2中，如图由题意当抛物线与图中矩形区域有交点时，在抛物线上存在点C，使得的紧覆盖的边长为3．
由题意．
当抛物线经过点G时，，
，
∵抛物线的对称轴，经过，
观察图象可知，当时，在抛物线上存在点C，使得的紧覆盖的边长为3．
当时，抛物线经过点A时，解析式，
观察图象可知，当时，在抛物线上存在点C，使得的紧覆盖的边长为3．
综上所述，满足条件的a的值为或．
x
0
…
y
0
1
0
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
2
0
…
销售单价（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量（件）
…
500
400
300
200
…