福建省厦泉五校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省厦泉五校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交但不垂直D．或
5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为
A．B．
C．D．
6．若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
8．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．
记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生”
事件B:“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（ ）
A．事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”
B．事件A与事件B互斥
C．
D．事件A与事件B相互独立
10．下列说法错误的是（ ）
A．是直线与直线互相垂直的充要条件
B．经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
11．在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A．曲线围成的图形有4条对称轴
B．曲线围成的图形的周长是
C．曲线上任意两点间的距离最大值是
D．若是曲线上任意一点，则的最小值是
三、填空题
12．已知事件和事件互斥，若且，则 .
13．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
14．在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则 .
四、解答题
15．已知直线：，：，其中为实数.
(1)当时，求直线，之间的距离；
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
16．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直.
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.
17．在直角梯形ABCD中，，，，如图①把沿BD翻折，使得平面平面（如图②）.

(1)求证：；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知圆C过，，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长；
(2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值.
19．近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”?
1．A
由直线的斜率得倾斜角．
【详解】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．
故选：A．
2．B
【详解】设事件A为不用现金支付，
则
故选：B.
3．C
根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为为直径，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为.
故选：C.
4．B
根据得到，进而得到与的位置关系.
【详解】因为，所以，所以或，
由于，所以.
故选：B.
5．B
【详解】点(a，b)取值的集合共有6×6＝36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
6．C
设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，设向量的夹角为，
所以，可得，
解得，
所以在方向上的投影为
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以在方向上的投影的最大值为．
故选：C.
7．B
根据已知求出点的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值.
【详解】圆，设圆心，圆的半径为，
因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，
所以，又因为，所以，
则，
设点，可得，
化简可得，
设，
则点到原点距离，
当时，点到原点距离最小值为，
故选：B.
8．B
在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.
则外接球的直径长为，所以半径r=1；
所以
由P在长方体表面上运动，所以，即
所以，即
故选：B
9．AC
对于A，直接根据对立事件的定义即可；对于B，说明两事件可能同时发生即可；对于C，直接用古典概型概率的计算方法计算即可；对于D，直接使用两事件独立的定义验证即可.
【详解】对于A，由于事件A不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确；
对于B，由于存在既是团员也是男生的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误；
对于C，直接计算即得，，故C正确；
对于D，由于，从而事件A与事件B不相互独立，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
解：对于，利用两直线的斜率的关系得解； 对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，得到结论；对于，直线的斜率，利用的范围得到的范围，又，结合正切函数的图像得到的范围；对于，求出圆心为和半径 ，由圆 与曲线 有四条公切线，得到曲线也为圆，且圆心为 ，半径 同时两圆的位置关系为外离，有 ，计算得解.
【详解】解：对于，当，两直线方程分别为和，
此时两直线平行，并不垂直，故错误；
对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误；
对于，直线的斜率，则，即，
则，故正确；
对于，方程可化为，
故曲线 表示圆心为，半径 的圆，
方程可化为，
因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ，
半径 同时两圆的位置关系为外离，有 ，
即 ，解得，故错误.
故选：.
11．ACD
分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可.
【详解】当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
所以曲线的图象如图所示，

对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；
对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；
对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；
对于D，到直线的距离，
点到直线的距离为，
由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．/
先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且，
所以，
而，
所以.
故答案为：
13．
【详解】由得：，当时，，；
设直线关于点对称的直线方程为，
，解得：或（舍），
直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：.
14．
设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可.
【详解】连接如图，设中点为， ，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点.
因为，，，设，
则，设，
则，故，
故，解得，代入可得，即.
由重心性质可得，设，
又，
则，故，解得.
故，故.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【详解】（1）由得，解得，
此时直线：，：，不重合，
则直线，之间的距离为；
（2）当时，：，
联立，解得，
又直线斜率为，
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，
即.
16．(1)或；(2).
【详解】试题分析：（1）设，结合空间向量的运算法则及模长公式，列出方程组，即可求出的坐标；（2）根据数量积运算公式可得，根据空间向量夹角公式可得余弦值.
试题解析：（1）设，则由题可知解得或
所以或.
（2）因为向量与向量共线，所以.
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
（1）先证明，利用平面平面可得平面，进而利用线面垂直的性质即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而即可求解；
（3）设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为，设，，可得，利用向量的夹角公式建立方程即可求解.
【详解】（1）证明：过作，垂足为，

因为，，，
所以，
所以，，
即，所以.
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，

由已知可得，，，，，
所以，，，
设平面ACD的法向量为，
则，即，
令，可得，
所以点M到平面ACD的距离为.
（3）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为，
设，，
因为，则，
即，所以,
又因为平面ACD的一个法向量为，且直线AN与平面ACD所成的角为，
所以,
整理得，解得或（舍去）.
综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为，此时.
18．(1)
(2)或
(3)
（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解；
（2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可；
（3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为，
其周长为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，

①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合，
，，设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，得，
解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，
则点的坐标为，
由题可知：，，
故，
又因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
19．(1)获得冠军的概率分别为，
(2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.
（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；
（2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.
【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为，
获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为.
（2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，获得冠军的概率.
令，
若为强队，则，故，团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
B
C
B
B
AC
ABD
题号
11









答案
ACD