福建省福州第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．椭圆的长轴长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
2．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
6．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ）
A．3B．2C．D．
7．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若为锐角，则D．若，则
10．已知曲线：的两个焦点分别为，，点在上，且，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则B．若是双曲线，则
C．若，则D．若，则的离心率为
11．如图，在四边形中，，，， ，，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
三、填空题
12．空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于 ．
13．若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为 ．
14．已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．已知圆：．
(1)若直线被圆所截得的弦的中点为，求的方程；
(2)设直线与圆相切，求的值．
16．中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
17．已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)求面积的最小值.
18．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，．
(1)取线段PA中点M，连接BM，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点.
(1)设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值；
(2)的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴.
（ⅰ）求椭圆的离心率；
（ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】对于椭圆，焦点在y轴上，所以，即，长轴长为．
故选：A．
2．B
【详解】方程，若表示为双曲线，则需满足，也即，
充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件；
必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件；
综上，“”是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件．
故选：B．
3．B
【详解】由题意，直线可化为，
当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，
设圆的圆心为，半径，
当直线时，取得最小值，且最小值为，
此时弦长对的圆心角为，所以劣弧长为.
故选：B.
4．C
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
5．D
【详解】对于A，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行，
所以若，，则，故A错误；
对于B，若，，则与的位置关系可能是平行、相交或异面，故B错误；
对于C，若，，则与的位置关系可能是或，故C错误；
对于D，根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，
所以已知，，且，可得，故D正确．
故选：D．
6．C
【详解】设等轴双曲线方程为，则，
双曲线，即的渐近线方程为，半焦距，
所以焦点到渐近线的距离.
故选：C
7．A
【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以，
设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为.
因为，，，，
所以，
所以，即.
解法二：不妨假设正方形与的边长均为2，
如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，
则有，，，，由此可得，.
设异面直线与所成的角为，则.
故选：A.
8．C
【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，，
由消去得，则，，
由，得，解得，
抛物线的准线方程为，，，
于是，
，因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：C
9．AC
【详解】对于A：若，则存在唯一实数使得即，
所以解得，所以.故A正确；
对于B：若，则，即.故B错误；
对于C：若为锐角，则 且 不共线，即即，
由A知当时，此时.故C正确；
对于D：若，则即，当时，故D错误.
故选：AC
10．BD
【详解】对于A，若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，则，故A错误；
对于B，若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确；
对于C，当时，曲线是椭圆，易得，，，
因此焦点，，
设点在椭圆上，满足，整理得，
的斜率，的斜率，
，将代入上式，
得，并不恒等于，故C错误；
对于D：若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确．
故选：BD．
11．ACD
【详解】对于A，如图，连接，由，
解得，又，所以，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理得，，
，故B错误；
对于C，因为，，所以，，
，，，
在中，由正弦定理，，即
解得，
在中，由余弦定理可得，
即，则，故C正确；
对于D，在中，，，，
，
，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】由向量，得，，
因此在上的投影向量，所以.
故答案为：
13．
【详解】设的中点坐标为，因为，，所以，
又，分别在直线和上移动，
所以，两式相加得，
所以，即即为中点所在直线方程，
因此原点到直线的距离，即为的中点到原点的距离的最小值；
由点到直线距离公式，可得：距离最小值为：.
故答案为：
14．
【详解】设，，则，，由得，
从而有，，
因为以为直径的圆恰好经过点，所以，所以，
又由得，则，
即，所以，所以．
故答案为：．
15．(1)；
(2)或.
【详解】（1）圆：的圆心，半径，显然点在圆内，
直线的斜率，由直线被圆所截得的弦的中点为，
得，因此直线的斜率为，方程为，即.
（2）由直线，即与圆相切，得，
所以或.
16．(1)，；
(2).
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以，.
（2）由（1）知，由，得，
由正弦定理得，而为锐角，则，
所以.
17．(1)动点P的轨迹方程为
(2)
【详解】（1）设点，由动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1，
所以，
因为P不在直线l左侧，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以动点P的轨迹方程为；
（2）当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入方程，得，
所以，整理得，
因为直线与动点P的轨迹交于A、B两点，所以，
设，则，
所以
令，所以
，
所以，
当斜率不存在时，直线方程为，所以，
此时，所以，
综上所述：，所以面积的最小值为.
18．(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，
【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，
由为的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
平面的一个法向量为，
则，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为：．
（3）令，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，平面的法向量为，
由平面平面，得，
得，
得，
故存在点E，使得平面平面，此时．
19．(1)证明见解析，定值为
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）依题意，.
设，则，，
所以，
所以，
又，所以，，所以，
所以，即为定值，且这个定值为.
（2）（ⅰ）解法一：依题意，，
设直线与轴交于点，因为轴，所以，
所以，
因为的内切圆与轴切于点，
所以，
又因为，解得
由（1）得，所以，
所以椭圆的离心率.
解法二：依题意，，
设直线与轴交于点，因为轴，所以，
所以，
因为的内切圆与轴切于点，
所以，
又因为，得
所以两式平方后作差，得对任意成立，
所以椭圆的离心率.
解法三：依题意，，因为轴，设点坐标为，
可求直线方程为，
则点到直线的距离，
即，
化简得，①
同理，由点到直线的距离等于，可得，②
将式①－②，得，则.
将代入式①，得，
化简得，得，
所以椭圆的离心率.
（ⅱ）由，得，又，所以，，
所以椭圆的方程为.
根楛椭圆对称性，不妨设点在第一象限或轴正半轴上，即，
又，，
所以直线的方程为，
设直线与交于点，因为，所以，
的面积与的面积之比为，
令（），则，
当，，当，，
所以函数在单调递减，在单调递增.
又因为，，，
所以的值域是，所以，
所以，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
D
C
A
C
AC
BD
题号
11









答案
ACD