2022-2023学年福建省泉州市五校联考高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省泉州市五校联考高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．如图，在平行六面体中，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量线性运算求解即可.

【详解】连接，如图所示：

.

故选：B

2．向量，，若，则（    ）

A． B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据题意，设，即，即可求得、的值

【详解】因为向量，，且，

则设，即，

则有，则，，解得，，

故选：C

3．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．或  D．或

【答案】B

【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.

【详解】因为直线和直线互相垂直，

所以，解得，

故选：B

4．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.

【详解】由，得，则.

故选：A

5．已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.

【详解】由题设且半径，弦长，

所以到的距离，

即，可得.

故选：B

6．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】7．若点在直线上，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．2 D．6

【答案】C

【分析】将转化为两点距离，即可求解．

【详解】解：表示点与点的距离，且点在直线外

则的最小值为点到直线的距离，即，

故的最小值为2．

故选：C．

8．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．长方体的体积

【答案】C

【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.

【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，

且，所以选项A错误；

根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；

因为，

且与同向共线；

又因为，且与同向共线，

，与同向共线，

所以，且与同向共线，

，故选项C正确；

因为长方体的体积为．

又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；

故选：C．

解法二：如图建立空间直角坐标系：

，，，

则，所以选项A错误；

，则，故选项D错误；

，故选项B错误；

，则，

，，则．

所以，故选项C正确；

故选：C．

二、多选题

9．“方程表示椭圆”的一个充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】求出表示椭圆时的取值范围，进而选出答案.

【详解】若方程表示椭圆，则，

解得：或.

故与是或的充分条件，

故选：AC.

10．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为

B．直线在轴的截距是2

C．直线的倾斜角为30°

D．过点且倾斜角为90°的直线方程为

【答案】CD

【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.

【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.

B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.

C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.

D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.

故选：CD

11．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．与共线的单位向量是

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

【答案】AD

【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.

【详解】，故，A正确；

不是单位向量，且与不共线，B错误；

，C错误；

设，则，，

所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.

故选：AD

12．圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点

C．的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则

【答案】ABD

【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.

【详解】圆M：配方得： ，

圆M关于直线对称，

直线过圆心.

,即

点P的轨迹方程为，A正确.

由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.

的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.

由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．以点为直径的圆的一般式方程为______________．

【答案】

【分析】根据为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.

【详解】因为，，所以，中点坐标为，所以以为直径的圆的标准方程为，展开得一般式方程为.

故答案为：.

14．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．

【答案】4

【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，

所以，

解得.

故答案为：4.

15．已知两直线.若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数__________（写出一个即可）.

【答案】或或(写出其中一个即可)

【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解.

【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；

②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；

③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：

联立与，得，解得，

所以与过点，将代入得：，解得；

综上：当或或时，不能构成三角形.

故答案为：或或.(写出其中一个即可)

16．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是______．

【答案】

【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线l是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，可得答案.

【详解】因为平面的方程为，故其法向量可取为，

平面的法向量可取为，

平面的法向量可取为，

直线l是两个平面与的交线，设其方向向量为，

则，令，则，

故设直线l与平面所成的角为 ，

则，

故答案为：

四、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.

(1)用，，表示；

(2)若底面是正方形，且，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；

（2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解.

【详解】（1）解：

；

（2）解：

，

所以

.

18．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.

(1)求直线的一般式方程；

(2)在下列两个条件中任选一个，求直线的一般式方程.

①角A的平分线所在直线方程为；

②边上的中线所在的直线方程为.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

【答案】(1)

(2)答案详见解析

【分析】（1）求得直线的斜率，进而求得直线的一般式方程.

（2）若选①，先求得点的坐标，求得关于直线对称点的坐标，从而求得直线的一般式方程.

若选②，先求得点的坐标，根据线段的中点在直线以及在直线上求得点的坐标，从而求得直线的一般式方程.

【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

整理得.

（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为，

，故.

设是点关于直线的对称点，

则，解得，即，

由于是直线上的点，

所以，

所以直线的方程为，

整理得直线的一般式方程为.

若选②，边上的中线所在的直线方程为，

，故.

设，则的中点在直线上，

即，整理得，

在直线，即，

，即，

所以，

所以直线的方程为，

整理得直线的一般式方程为.

19．已知的三顶点坐标为，求

(1)的外接圆的方程;

(2)过点作圆的切线，求切线方程.

【答案】(1)

(2) 或

【分析】（1）设外接圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数即得解；

（2）分不存在，存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可.

【详解】（1）不妨设外接圆的一般方程为

故

解得：

即的外接圆的方程为：

（2）由题意，

故圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，成立，故为圆C的切线；

若切线的斜率存在，不妨设切线为：，

圆心到直线的距离：，解得

故切线方程为：

综上，过点的圆的切线方程为： 或

20．已知椭圆的长轴长为，两焦点的坐标分别为和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为椭圆上一点，轴，求的面积．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得.由椭圆中满足,即可求得,进而得椭圆的标准方程.

（2）根据,可得点坐标,即可求得的面积．

【详解】（1）椭圆的长轴长为,两焦点的坐标分别为和

则,且

解得

所以椭圆的标准方程为

（2）为椭圆上一点,轴

所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为

不妨设点在轴上方,则

所以

【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.

21．如图，在三掕台中，，，侧棱平面，点是棱的中点.

(1)证明：平面

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据线面垂直的性质定理以及判定定理，可得，再结合线面垂直判定定理，可得答案.

（2）建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，根据面面角与法向量夹角的关系，可得答案.

【详解】（1）在平面内，过作，且，

则，在中，，易知，即，

平面平面，

，且平面平面，

平面平面，

平面.

（2）以点为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，由点为的中点，则

在平面中，取，设该平面的法向量，

则，即，今，解得，

故平面的一个法向量，

在平面中，取，设该平面的法向量，

则，即，今，解得，

故平面的一个法向量，

则，由图得二面角为锐角，

故平面与平面的夹角的余弦值为.

22．在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．

(1)求轨迹E的方程；

(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心P的轨迹满足椭圆的定义，进而可求出方程；

（2）当直线AB的斜率不存在，或为0时，可直接由已知得出四边形ADBG面积；

当直线AB的斜斜率存在且不为0时，设出直线AB的方程，与联立椭圆联立，通过韦达定理与弦长公式得出与直线AB的斜率的关系，再由，得出直线DG的斜率与直线AB的斜率的关系，设出直线DG的方程，同理得出与直线AB的斜率的关系，即可列出四边形ADBG面积的式子，再通过基本不等式的应用得出最小值.

【详解】（1）设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，

由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，

动圆P与圆内切，且与圆外切，

，则

动圆P的圆心的轨迹E是以， 为焦点的椭圆，

设其方程为：，

其中，，

，，即轨迹E的方程为：.

（2）当直线AB的斜率不存在，或为0时，

四边形ADBG面积长轴长通径长，

当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，

由可得：，

，，

，

．

，，

同理可得：，

，

四边形ADBG面积，

则

等号当且仅当时取，

即时，.