福建省莆田第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省莆田第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（ ）
A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点
C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点
5．已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
6．过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（ ）
A．3B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到．若，若要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边的长度为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆和直线，则（ ）
A．直线恒过定点B．截圆所得弦长的最大值为2
C．截圆所得弦长取最小值时D．上动点到的距离的最大值为
10．深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，其中函数是神经网络的一种激活函数，则（ ）
A．有且仅有一个零点B．图象关于原点对称
C．在上单调递增D．有极小值点
11．已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为．过的直线与交于两点，与轴交于点（其中位于轴上方），则（ ）
A．的最大值为
B．当位于第一象限且时，面积为
C．当位于第二象限且时，
D．当时，的周长为8
三、填空题
12．函数在处的切线方程为 ．
13．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为： .
14．已知圆，其中，若圆C上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 .
四、解答题
15．已知点．
(1)求的外接圆的标准方程；
(2)已知为圆上的动点，求的取值范围．
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
17．已知双曲线的焦距为4，且点在上．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线于两点，是否存在以为直径的圆过坐标原点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
18．如图，椭圆：的一个顶点为，离心率为.，是过点且互相垂直的两条直线，其中，交圆：于，两点，交椭圆于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.
19．已知曲线．
(1)证明：关于直线对称;
(2)判断直线与的交点个数，并证明；
(3)证明：是某个函数的图象．
参考答案
1．B
【详解】对于直线方程，得到,斜率.
设直线的倾斜角为，，根据直线倾斜角与斜率的关系，
已知斜率，所以.
在这个范围内，正切值等于的角只有，所以.
故选：B.
2．C
【详解】由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：；
故选：C
3．D
【详解】由题意得圆方程可化为，
将圆方程和圆方程相减，
即可得经过两圆交点的直线方程为.
故选：D.
4．C
【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故函数有一个极大值点，两个极小值点.
故选：.
5．A
【详解】若，则，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A.
6．D
【详解】设点，由的中点为，得，
由共线，得，
由，两式相减，得，
则，而双曲线右焦点为，故，
所以.
故选：D
7．B
【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又，
如图，

设，四边形为等腰梯形，
，即，；
由椭圆定义知，，，
解得.
故选：B.
8．C
【详解】设圆心为，由圆的性质可知，，，，，共线，，，，，共线，
由菱形性质可知，，
不妨令，，且半径为6，
则，即，，
故，
不妨令，，
则，
从而；，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上取最大值，
从而要使镂空的菱形面积最大，则，
由可知，，
则此时.
故选：C.
9．AC
【详解】对于A，直线即，
令，解得，所以直线过定点，故A正确；
对于B，直线截圆所得弦长最大值为直径的长，即最大值为，故B错误；
对于C，因为，所以定点在圆内，即直线与圆相交，
设点，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小，
所以，即，所以，故C正确；
对于D，由圆的几何性质，当时，到的距离最大，
所以，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【详解】对于A，令，解得，所以有且仅有一个零点，故A正确；
对于B，的定义域为R，，所以不是奇函数，
所以图象不关于原点对称，故B错误；
对于C，，
当时，，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，令，，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
又当时，，当时，，
则，使得当时，，即，
当 时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值点，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】对于A，由椭圆的几何图象可得，当点与点重合时，此时最大，，所以，此时，故A正确；
对于B，当时，又，所以，所以点的横坐标为，代入椭圆方程得到点的纵坐标，所以，故B正确；
对于C，当，，故C错误；
对于D，由A选项知，，，又，所以直线是线段的中垂线，所以，，所以的周长为，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
13．
【详解】设动圆的圆心为，半径为R，
因为动圆与圆外切，与圆内切，
所以，
所以，
所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：
14．
【详解】设与直线 平行且距离为的直线方程为，
则，解得或，
所以与直线 的距离为1的点都在
直线 和 上，
又圆 过原点
且原点到直线 的距离为，
则 在直线 上，且与 相切，
所以
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）设的外接圆的标准方程为，
则，解得，即
则的外接圆的标准方程为.
（2）因为为圆上的动点，设（其中为参数，）
则，
所以当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的取值范围为.
16．(1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）.
若，则，故在R上单调递增；
若，令，得.
，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：若，在R上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题，恒成立.
令，则.
.
则在上单调递增，在上单调递减.
又注意到时，，，则.
故.
17．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由双曲线的焦距为4，得，
由点在上，得，联立解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）不存在，理由如下：
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，线段的端点为和，
则不存在以为直径的圆过坐标原点；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，，
由消去并整理得，
，，，
则，
若存在以为直径的圆过坐标原点，则，即，
因此，无解，
所以不存在这样的直线，使得以为直径的圆过坐标原点.
18．（1）；（2）.
【详解】（1）由已知可得，解得，
因此椭圆的方程是；
（2）因为直线，且都过点，所以设直线：，直线：，
所以圆心到直线：的距离为，
所以直线被圆所截的弦；
由消去整理得，
所以，则，
因此，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时直线的方程为：.
19．(1)证明见解析
(2)1；证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）点关于对称的点为，
若点在曲线上，即，
所以，
即也在曲线上，故关于直线对称.
（2）直线与的交点个数为1.
联立即，化简得，故，
所以直线与的交点个数为1.
（3）固定，设，则，
当时，恒成立，此时至多有一个零点；
当时，令，设，则，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应，