福建省2025九年级数学上册第21章二次根式学情评估试卷（附解析华东师大版）

这是一份福建省2025九年级数学上册第21章二次根式学情评估试卷（附解析华东师大版），共9页。
第21章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列式子中，是二次根式的是(　　)A．π B.eq \f(1,3) C.eq \r(－2) D.eq \r(3)2．若二次根式eq \r(x－1)有意义，则x的取值范围是(　　)A．x>1 B．x” “3时，x的值为________．三、解答题(本题共9小题，共86分)17. (8分)计算：(1)eq \r(18)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\r(3)))；(2)eq \r(8)×eq \r(6)－eq \f(\r(24),\r(2))＋(eq \r(3)＋1)(eq \r(3)－1)．18. (8分)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\r(5)))eq \s\up12(2)，其中a＝eq \f(1,\r(5)).19. (8分)下面是小颖同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：eq \r(\f(5,4))＋(2 eq \r(5)－1)2＝eq \f(\r(5),\f(\r(4),①))＋10－4 eq \r(5)＋1…………………第一步＝eq \f(\r(5),2)＋11－4 eq \r(5)………………………第二步＝11－eq \f(7,2) eq \r(5)………………………第三步任务一：以上解答步骤中，第一步标①处的依据是________；A.eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)　　　　B.eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b>0)任务二：以上运算过程中，第________步开始出现错误，具体错误是____________________；任务三：请写出正确的运算过程．20. (8分)某市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在20 dm2以上．如图所示的是小明同学的参赛作品(单位：dm)．(1)通过计算，判断小明的作品是否符合参赛标准；(2)小亮给小明提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？(彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：eq \r(2)≈1.4)21．(8分)若最简二次根式eq \r(3x－10,2x＋y－5)和eq \r(x－3y＋11)是同类二次根式．(1)求x，y的值；(2)求eq \r(x2＋y2)的值．22．(10分)已知a＝eq \r(6)－2，b＝eq \r(6)＋2，求下列代数式的值．(1)a2＋b2＋3ab；(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b).23. (10分)有一个底面长、宽比为53，高为12 cm的长方体包装硬纸箱(如图①)，其底面积为240 cm2. (1)求这个纸箱的长与宽分别为多少；(2)有一种圆柱形饮料罐，其高为11 cm，容量为330 ml(1 ml＝1 cm3)，现将6罐这种饮料按如图②所示3×2连体包装后放入图①的纸箱中，请通过计算判断该纸箱能否装下这6罐连体包装饮料？(饮料罐外壁及包装膜厚度忽略不计，圆柱的容积＝底面积×高，π取3)24. (12分)阅读下列材料，然后解答问题：eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3×\r(5),\r(5)×\r(5))＝eq \f(3 \r(5),5).(一)eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(2×3),\r(3×3))＝eq \f(\r(6),3).(二)eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \f(2（\r(3)－1）,（\r(3)＋1）（\r(3)－1）)＝eq \f(2（\r(3)－1）,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2－1)＝eq \r(3)－1.(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．eq \f(2,\r(3)＋1)还可以用以下方法化简：eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \f(3－1,\r(3)＋1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2－1,\r(3)＋1)＝eq \f(（\r(3)＋1）（\r(3)－1）,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.(四)(1)请用不同的方法化简eq \f(2,\r(5)＋\r(3))：(在横线上写出步骤)①参照(三)式得eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＝_____________________________________________；②参照(四)式得eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＝____________________________________________．(2)化简：eq \f(2,\r(3)＋1)＋eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(2,\r(7)＋\r(5)).(保留过程)25．(14分)某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究．【探究发现】6＋6＝2eq \r(6×6)＝12；eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)＝2eq \r(\f(1,5)×\f(1,5))＝eq \f(2,5)；0．3＋0.3＝2eq \r(0.3×0.3)＝0.6；eq \f(1,3)＋3>2eq \r(\f(1,3)×3)＝2；0．2＋3.2>2eq \r(0.2×3.2)＝1.6；eq \f(1,3)＋eq \f(1,27)>2eq \r(\f(1,3)×\f(1,27))＝eq \f(2,9).【猜想结论】若a>0，b>0，则a＋b≥2eq \r(ab).【证明结论】因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)－\r(b)))2≥0，①当eq \r(a)－eq \r(b)＝0，即a＝b时，a－2eq \r(ab)＋b＝0，所以a＋b＝2eq \r(ab)；②当eq \r(a)－eq \r(b)≠0，即a≠b时，a－2eq \r(ab)＋b>0，所以a＋b>2eq \r(ab).综上所述，若a>0，b>0，则a＋b≥2eq \r(ab).【应用结论】(1)若y＝x＋eq \f(1,x)(x>0)，当x取何值时，y的值最小？最小值是多少？(2)若y＝eq \f(1,x－5)＋x(x>5)，当x取何值时，y的值最小？最小值是多少？答案一、1.D　2.C　3.C　4.C　5.C　6.C　7.A　8.A　9.C　10.D二、11.eq \f(8 \r(5),5)　12.＝　13.10 eq \r(2)＋2 eq \r(3)　14.6 eq \r(5)－515．－2　16.4＋eq \r(2)三、17.解：(1)原式＝3 eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)－eq \r(3)＝eq \f(5 \r(2),2)－eq \r(3).(2)原式＝eq \r(48)－eq \r(12)＋(3－1)＝4 eq \r(3)－2 eq \r(3)＋2＝2 eq \r(3)＋2.18．解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\r(5)))2＝3－a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－2 \r(5)a＋5))＝－2 eq \r(5)a＋8，因为a＝eq \f(1,\r(5))，所以a＝eq \f(\r(5),5)，把a＝eq \f(\r(5),5)代入－2 eq \r(5)a＋8，得出－2 eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＋8＝6.19．解：任务一：A任务二：一；计算(2 eq \r(5))2时，没有将“2”平方任务三：eq \r(\f(5,4))＋(2 eq \r(5)－1)2＝eq \f(\r(5),\r(4))＋20－4 eq \r(5)＋1＝eq \f(\r(5),2)＋21－4 eq \r(5)＝21－eq \f(7,2) eq \r(5).20．解：(1)由题意可知，eq \r(18)×eq \r(32)＝eq \r(18×32)＝24eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(dm2))，因为24>20，所以小明的作品符合参赛标准．(2)由题意可得，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(18)＋\r(32)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3 \r(2)＋4 \r(2)))＝14 eq \r(2)≈19.6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(dm))，所以需要彩条的长度约为19.6 dm.21．解：(1)根据题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－10＝2，,2x＋y－5＝x－3y＋11，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3.))(2)当x＝4，y＝3时，eq \r(x2＋y2)＝eq \r(42＋32)＝eq \r(25)＝5.22．解：由题意，得a＋b＝2 eq \r(6)，ab＝2.(1)原式＝(a＋b)2＋ab＝(2 eq \r(6))2＋2＝26.(2)原式＝eq \f(b2＋a2,ab)＝eq \f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq \f(（2 \r(6)）2－4,2)＝10.23．解：(1)设纸箱的长为5x cm，则宽为3x cm，所以5x·3x＝240，所以x2＝16，因为x>0，所以x＝4，所以5x＝20，3x＝12.因此，这个纸箱的长为20 cm，宽为12 cm.(2)设圆柱形饮料罐的底面半径为r cm，根据题意，得11πr2＝330，即r2＝eq \f(330,11π)≈10，因为r>0，所以r≈eq \r(10).所以6罐连体包装饮料的宽约为4 eq \r(10) cm.因为4eq \r(10)>12，所以该纸箱无法装下这6罐连体包装饮料．24．解：(1)①eq \f(2（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)＋\r(3)）（\r(5)－\r(3)）)＝eq \f(2（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)）2－（\r(3)）2)＝eq \r(5)－eq \r(3) ②eq \f(5－3,\r(5)＋\r(3))＝eq \f(（\r(5)）2－（\r(3)）2,\r(5)＋\r(3))＝eq \f(（\r(5)＋\r(3)）（\r(5)－\r(3)）,\r(5)＋\r(3))＝eq \r(5)－eq \r(3)(2)eq \f(2,\r(3)＋1)＋eq \f(2,\r(5)＋\r(3))＋eq \f(2,\r(7)＋\r(5))＝eq \f(2（\r(3)－1）,（\r(3)＋1）（\r(3)－1）)＋eq \f(2（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)＋\r(3)）（\r(5)－\r(3)）)＋eq \f(2（\r(7)－\r(5)）,（\r(7)＋\r(5)）（\r(7)－\r(5)）)＝eq \f(2（\r(3)－1）,（\r(3)）2－1)＋eq \f(2（\r(5)－\r(3)）,（\r(5)）2－（\r(3)）2)＋eq \f(2（\r(7)－\r(5)）,（\r(7)）2－（\r(5)）2)＝eq \r(3)－1＋eq \r(5)－eq \r(3)＋eq \r(7)－eq \r(5)＝eq \r(7)－1.25．解：(1)因为x>0，所以y＝x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2，且当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立．所以当x＝1时，y的值最小，最小值是2.(2)因为x>5，所以x－5>0，所以y＝eq \f(1,x－5)＋x＝eq \f(1,x－5)＋x－5＋5≥2 eq \r(\f(1,x－5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－5)))＋5＝2×1＋5＝7，且当x－5＝eq \f(1,x－5)，即x＝6时，等号成立．所以当x＝6时，y的值最小，最小值是7.题序12345678910答案