九年级下册第2章 圆2.7 正多边形与圆优秀同步练习题

2.7正多边形和圆同步练习湘教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 边长为2的正六边形的边心距为

A. 1 B. 2 C.  D.

2. 半径为r的圆的内接正六边形边长为

A.  B.  C. r D. 2r

3. 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则的度数是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知正五边形ABCDE内接于，连结BD，CE相交于点F，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，将边长相等的正和正五边形ABCDE的一边AB重叠在一起，当绕着点A顺时针旋转时，顶点P刚好落在正五边形的对称轴EF上，此时的值为

A. 45
B. 30
C. 26
D. 24

6. 下列图形为正多边形的是

A.  B.  C.  D.

7. 若一个正多边形的中心角为，则这个多边形的边数是

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

8. 下列说法错误的是

A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆内接四边形的对角互补
C. 任意三角形都有一个外接圆 D. 正n边形的中心角等于

9. 如图，AB，AC分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为

A. 8
B. 10
C. 12
D. 15

10. 下列图形属于正多边形的是

A. 长方形 B. 正方形 C. 梯形 D. 平行四边形

11. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为______．
    
     

14. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当时，，则当时，______结果精确到，参考数据：，
15. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果，那么CH的长为______．
    
    
     

16. 如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边，连接FE，FC，则的度数是______．
    
     

17. 若某正多边形的一条边长为2，一个外角为，则该正多边形的周长为______．
18. 如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线l经过、，则直线l与的夹角______
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 尺规作图：如图，AD为的直径．
    求作：的内接正六边形要求：不写作法，保留作图痕迹；
    已知连接DF，的半径为4，求DF的长．
    小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程．
    在中，连接OF．
    正六边形ABCDEF内接于
    
    
    ______填推理的依据
    为直径
    
    
    ______．

20. 如图，正方形ABCD内接于，P为上一点，连接DE，AE．
    ______；
    若，，求DP的长．
     

21. 如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图保留作图痕迹，不写作法．
    在图1中画出正六边形边AF的中点M；
    在图2的正六边形边AF上找一点N，使得．

22. 已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    在图中，画一个菱形ABCP；
    在图中，画出正五边形ABCDE的中心点O．

23. 如图，已知正方形ABCD，用直尺和圆规作它的外接圆．
    
     

24. 如图，正方形ABCD内接于，E是的中点，连接AE，DE，CE．
    求证：；
    若，求四边形AECD的面积．
     

25. 如图，已知等边内接于，BD为内接正十二边形的一边，，求的半径R．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：如图，在中，，，
 ．
故选：C．
已知正六边形的边长为2，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形得出．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：如图，ABCDEF是的内接正六边形，连接OA，OB，
则三角形AOB是等边三角形，所以．
故选：C．
画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正三角形AOB，可以求出AB的长．
本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边形的边长．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由题意：，，，，
，
，
故选：B．
利用正多边形的性质求出，，即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：如图所示：
五边形ABCDE为正五边形，
，，
，
．
故选：C．
首先根据正五边形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的外角的性质得到．
本题考查的是多边形内角与外角，正五边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：如图，是正五边形，
，
是等边三角形，
，
，
是正五边形的对称轴，
，
，
，
，
，
旋转角，
故选：D．
分别求出，即可解决问题．
本题考查旋转变换，正多边形与圆，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：A．  

8.【答案】A
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、圆内接四边形的性质等知识；熟记有关性质是解题的关键．根据垂径定理、圆内接四边形的性质、正多边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：平分弦不是直径的直径垂直于弦，
选项A符合题意；
B.圆内接四边形的对角互补，
选项B不符合题意；
C.任意三角形都有一个外接圆，
选项C不符合题意；
D.正n边形的中心角等于，
选项D不符合题意；
故选A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于2的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值．
【解答】
解：连接OA、OB、OC，如图，

，AC分别为的内接正三角形与内接正四边形的一边，
，，
，
，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，可得答案．

【解答】

解：正方形四个角相等，四条边都相等，
故选B．

11.【答案】B
 

【解析】解：正多边形的一个外角为，
正多边形的边数为，
其中心角为．
故选：B．
根据正多边形的外角和是求出正多边形的边数，再求出其中心角．
本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和外角和是解题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作于点P，

则，且，
设正八边形的边长为a，则，
解得，
在中，，
，
由，
则，
．
故选：C．
根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．
本题主要考查正多边形的外接圆的性质，解直角三角形等内容，熟练掌握三角函数的定义及正多边形外接圆的性质是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆，旋转中的坐标变化，掌握正六边形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
连接OA，OC，OD，OF，根据正六边形的性质得到，根据旋转变换的性质、寻找规律即可解决问题．
【解答】
解：连接OA，OC，OD，OF，

六边形ABCDEF是正六边形，
，
将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转，
点A旋转6次回到点A，
，
正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次时，点A与点E重合，
此时顶点A的坐标为，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，

作于点H，则，
，
中，，即，
，，
，
又，
．
故答案为：．
圆的内接正十二边形被半径分成顶角为的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得，，进而得到答案．
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，正确构造直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：正六边形的内角的度数，
则，
，
，，
，
四边形AGHI是正方形，
，
，
故答案为：．
求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BG、CG，根据正多边形的性质计算．
本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：正五边形ABCDE，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形和电视背景下的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正五边形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】16
 

【解析】解：设正多边形是n边形．
由题意：，
，
这个正多边形的周长，
故答案为16．
设正多边形是n边形．由题意：，求出n即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】48
 

【解析】解：延长交的延长线于C，设l交于E、交于D，如图所示：
六边形是正六边形，六边形的内角和，
，
，
，
五边形是正五边形，五边形的内角和，
，
，
，
，
，
故答案为：48．
延长交的延长线于C，设l交于E、交于D，由正六边形的性质得出，得出，则，由正五边形的性质得出，由平行线的性质得出，则，再由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了正多边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】的内接正六边形ABCDEF如图所示；

一条弧所对的圆周角是圆心角的一半， 
 

【解析】解：见答案；
在中，连接OF．
正六边形ABCDEF内接于


一条弧所对的圆周角是圆心角的一半
为直径



故答案为：一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，．
用的半径去截圆周即可解决问题；
连接OF，在中，解直角三角形即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】45
 

【解析】解：如图，连接BD，
正方形ABCD内接于，P为上一点，
，
，
．
故答案为：45；
如图，作于H，
，，
，
，
，
．
连接BD，根据正方形ABCD内接于，可得；
作于H，因为，，可得，因为，所以，即．
本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握圆周角定理．
 

21.【答案】解：如图，连接AD，CF交于点O，
如图，点N即为所求．

 

【解析】如图1中，连接AD，CF交于点O，延长BA交EF于点T，作直线OT交AF于点M．
延长BA交EF的延长线于T，连接CT交AF于点N，点N即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：如解图，四边形ABCP即为所求；

如解图，点O即为所求．
 

【解析】连接AD，CE交于点P，四边形ABCP即为所求．
作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点O即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：如图，圆O即为所求．

 

【解析】根据外接圆定义即可用直尺和圆规作正方形ABCD的外接圆．
本题考查了作图复杂作图，正方形的性质，正多边形和圆，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

24.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，
，
是的中点，
，
，
．

解：连接BD，过点D作交EC的延长线于F．
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】欲证明，只要证明．
连接BD，过点D作交EC的延长线于证明≌，推出，推出，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：连接OB，OC，OD，
等边内接于，BD为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
．
即的半径．
 

【解析】首先连接OB，OC，OD，由等边内接于，BD为内接正十二边形的一边，可求得，的度数，继而证得是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．