2025-2026学年江苏省苏州市工业园区星港学校八年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年江苏省苏州市工业园区星港学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是(    )A. B. C. D. 2.下列长度的三条线段能构成三角形的是(    )A. 3，4，8B. 8，8，18C. 5，6，11D. 4，4，73.下列各式：①2x，②x+y5，③12−a，④xπ−1中，是分式的有(    )A. ①③B. ③④C. ①②D. ①③④4.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(    )A. am+bm+c=m(a+b)+cB. (2x+1)2=4x2+4x+1C. x2−9=(x−3)(x+3)D. (x+2)(x−3)=x2−x−65.如图，△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，则添加下列条件后，能运用“SAS”判断△ABC≌△DEF的是(    )A. BC=EFB. ∠A=∠DC. AC=DFD. ∠C=∠F6.下列计算错误的是(    )A. 2× 3= 6B. 8÷ 2=2C. 18÷ 2=9D. (−3)2=37.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是(    )A. 3B. 6C. 12D. 188.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=90∘.下列结论：①△BED≌△AFD；②AC=BE+FC；③EF=AD；④∠AGF=∠AED；正确的是(    )A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.若二次根式 x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围为          .10.计算：x2x−1−xx−1      .11.折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”.如图，小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1=61∘，则∠2=      .12.某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=6m，则DE的长为      m.13.若a2−3a+1=0，则a+1a−2=      .14.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形ABC的周长为16cm，AB=4cm，则它的“优美比”k为      .15.如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置.经过调查，秘密宝藏的位置P满足为条件：△PAB为直角三角形，符合条件的P点的个数为      个.16.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，CA=AB=10，点M为AC中点，点N在直线BC上运动，连接以AN，将AN绕点A逆时针方向旋转120∘得到AF，连接MF，则点N在运动过程中，MF的最小值为      .三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题5分)因式分解：ax2+4ax+4a.18.(本小题5分)解分式方程：3x+1−2x−1=6x2−1.19.(本小题6分)(1)已知c>0，则( c)2=______.(2)已知a>0，b>0，且 a> b，求证：a>b.20.(本小题6分)先化简，再求值：(2x−1+1)⋅x2−xx2+2x+1，其中x=−2.21.(本小题6分)如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠ABD=∠BAD=45∘，连接AD，AD上有一点F，满足BF=AC.(1)求证：DF=DC；(2)∠ABF=15∘，点E为BF的中点，DC=2，求DE的长.22.(本小题6分)已知关于x的方程：2xx+3=mxx+3−2.(1)当m为何值时，方程无解．(2)当m为何值时，方程的解为负数．23.(本小题6分)已知：如图，射线BA和线段BC有公共端点B.(1)①作线段BC的垂直平分线，交射线BA于点P；②过P作射线PD，使PD//BC.(以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹).(2)若∠APD=34∘，连接PC，则∠BCP=______.24.(本小题8分)25.(本小题10分)在△ABC中，AB=10，BC=12，点D为边AB的中点，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发在射线BC上运动，点Q在边AC上，设点P运动时间为t秒．(t>0).(1)用含t的代数式表示线段CP的长．(2)当AB=AC，点P在线段BC上．若△BPD和△CQP全等，求t的值．(3)当∠ACB=50∘，△CPQ为等腰三角形时，请直接写出∠CPQ的度数为______.26.(本小题10分)综合与实践：【任务1：证明反射路径最短】(1)如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点C′，连接CD，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线.求证：CE+DE最短.请在横线上补全证明过程.如图，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E′，连接DE′，CE′，C′E′.在△C′DE′中，C′E′+DE′>C′D(______)，∵实物C与点C′关于平面镜AB对称，∴AB垂直平分CC′，∴CE=______，CE′=C′E′(______)，∵C′D=C′E+DE，C′E′+DE′>C′D，∴CE′+DE′>CE+DE.【任务2：确定挡板反射范围】(2)如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图步骤)【任务3：计算最短】(3)如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB=60∘，点P为距离地面OB为8cm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为10cm时，求PD的长.答案和解析1.【答案】D 【解析】解：由三角形高的定义可得，四个图中只有D选项中的图符合题意，故选：D.过点B作AC边的垂线，垂足为D，那么线段BD即为△ABC的高，据此逐一判断即可．本题主要考查了三角形的高的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．2.【答案】D 【解析】解：A、3+40，b>0，且  a> b>0，∴( a)2>( b)2，即 a>b 【解析】(1)解：根据二次根式的性质可知( c)2=c，故答案为：c；(2)证明：∵a>0，b>0，且  a> b>0，∴( a)2>( b)2，即 a>b.(1)直接利用二次根式的性质求解；(2)利用二次根式的性质和不等式性质进行证明．本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．20.【答案】解：(2x−1+1)⋅x2−xx2+2x+1=2+x−1x−1⋅x(x−1)(x+1)2=x+1x−1⋅x(x−1)(x+1)2=xx+1；当x=−2时，原式=−2−2+1=2. 【解析】将括号内的分式通分并计算，然后算乘法并约分，最后将已知数值代入化简结果中计算即可．本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．21.【答案】∵∠ABD=∠BAD=45∘，∴∠ADB=90∘，AD=BD，∴∠ADC=∠ADB=90∘，在Rt△BDF与Rt△ADC中，BD=ADBF=AC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴DF=DC；  DE=2 【解析】(1)证明：∵∠ABD=∠BAD=45∘，∴∠ADB=90∘，AD=BD，∴∠ADC=∠ADB=90∘，在Rt△BDF与Rt△ADC中，BD=ADBF=AC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴DF=DC；(2)解：∵∠ABF=15∘，∠ABD=45∘，∴∠DBF=30∘，∴∠BFD=60∘，∵点E为BF的中点，∴DE=EF=12BF，∴△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∵DF=CD=2，∴DE=2.(1)由∠ABD=∠BAD=45∘，得到∠ADB=90∘，AD=BD，求得∠ADC=∠ADB=90∘，根据全等三角形的性质得到DF=DC；(2)根据∠ABF=15∘，∠ABD=45∘，得到∠DBF=30∘，求得∠BFD=60∘，根据直角三角形的性质得到DE=EF=12BF，得到△DEF是等边三角形，求得DE=DF，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22.【答案】解：(1)由原方程，得2x=mx−2x−6，①整理，得(4−m)x=−6，当4−m=0即m=4时，原方程无解；②当分母x+3=0即x=−3时，原方程无解，故2×(−3)=−3m−2×(−3)−6，解得m=2，综上所述，m=2或4；(2)由(1)得到(4−m)x=−6，当m≠4时．x=−64−m