2025-2026学年江苏省淮安市淮安区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省淮安市淮安区八年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，假命题是( )
A. 全等三角形的面积相等B. 等角的余角相等
C. 两锐角之和一定是钝角D. 两直线平行，同旁内角互补
3.如图，△ABC中，∠ACB=80∘，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
4.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC上一点，连结BO，DO，若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是( )
A. S1+S3=S2+S4B. S3−S1=S2−S4
C. S1⋅S3=S2⋅S4D. S2+S3=2(S1+S4)
5.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处
6.满足下列条件的△ABC，其中是直角三角形的为( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. AB：BC：AC=3：4：5
C. AB=1，BC=4，AC=5D. ∠A=30∘，∠B=75∘
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接DE交AB于点F，连接CF，到CF的长为( )
A. 4
B. 5
C. 5.5
D. 6
8.如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )
A. 同位角B. 内错角C. 对顶角D. 同旁内角
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码______.
10.如图，△ABC三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则tanA= .
11.一个等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是 .
12.如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AB=8cm，△ABC的周长为18cm，则△ADC的周长是 cm.
13.如图，正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，D、A、E三点共线且DE=5，则图中阴影部分图形的面积为 .
14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为______.
15.《蝶(同“蜨”)几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集.如图为某蝶几设计图，其中△ADC和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，且点F与点B关于直线CE对称，分别连接CF，DF.若，则∠BCE为 ∘.
16.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG的度数为______.
三、解答题：本题共11小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED.
18.(本小题5分)
如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)AC垂直平分BD.
19.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点E在AB上，若∠ABC=32∘，求∠ABD的大小.
20.(本小题13分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB)，则网格中满足条件的点P共有______个；
(3)在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小.
21.(本小题6分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
(1)通过计算判断△ABC的形状；
(2)在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上.
(1)若BC=6，BD=9，求线段AE的长.
(2)连接AD，若∠C=110∘，∠BAC=40∘，求∠BDA的度数.
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠D=∠C=90∘.
(1)若E为CD的中点，AB=BC+AD，求证：AE平分∠DAB；
(2)若E为AB的中点，AB=2AD，CA=CB，试判断三角形ABC的形状，并说明理由.
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3，
BD=5，求BE的长．
25.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m+1=0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+2x2−x1x2=9，求m的值.
26.(本小题8分)
在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF=90∘.已知CE=4，AE=2，BF−CF=32，求AB的长.
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点.
(1)求证：FG⊥DE；
(2)如果∠A=60∘，BC=16，求FG的长度.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B.选项图形是轴对称图形，符合题意；
C.选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D.选项图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B.
如果一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，即可解答．
本题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的意义是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
B、等角的余角相等，是真命题，不符合题意；
C、两锐角之和可能是锐角、直角或钝角，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
故选：C.
根据全等三角形的性质、余角的概念、角的计算、平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.
∴∠ACB=∠DCE=80∘，AC=CE，
∴∠CAE=50∘
故选：C.
由旋转的性质可得∠ACB=∠DCE=80∘，AC=CE，由等腰三角形的性质可求∠CAE的度数．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S2：S1=OA：OC，S3：S4=OA：OC，S△ACD=S△ABC，
∴S1S2=S4S3=OCOA，
∴S1⋅S3=S2⋅S4，故C正确，不符合题意，
∵S△ACD=S1+S2，S△ACB=S3+S4，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S3−S1=S2−S4，故B正确，不符合题意；
如图，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则∠AED=∠CFB=90∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∴△DAE≌△BCF(AAS)，
∴DE=BF，
∵S2=12AO⋅DE，S3=12AO⋅BF，S1=12CO⋅DE，S2=12CO⋅BF，
∴S1=S4，S2=S3，
∴S1+S3=S2+S4，故A正确，不符合题意；
只有当AO=2OC时，S2+S3=2(S1+S4)，故D错误，符合题意；
故选：D.
由平行四边形的性质得出S1S2=S4S3=OCOA，S1+S2=S3+S4，即可判断B、C，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则∠AED=∠CFB=90∘，证明△DAE≌△BCF(AAS)得出DE=BF，从而得出S1=S4，S2=S3，即可判断A，只有当AO=2OC时，S2+S3=2(S1+S4)，即可判断D.
本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图所示，可供选择的地址有4个．
故选：D.
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，难点在于要考虑中转站在△AOB内部和外部两种情况．
6.【答案】B
【解析】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C+∠B+∠A=180∘，
∴最大角为∠C=53+4+5×180∘=75∘，
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设AB、BC、AC分别为3k，4k，5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、∵AB=1，BC=4，AC=5，1+4=5，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=30∘，∠B=75∘，∠C+∠B+∠A=180∘，
∴∠C=75∘，
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选B.
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
由作图方法可知，DE是线段AB的垂直平分线，
∴点F为AB的中点，
∴CF=12AB=5，
故选：B.
由勾股定理得AB=10，由作图方法可知，DE是线段AB的垂直平分线，即点F为AB的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得CF=12AB=5.
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确求出AB=10是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
拇指所在直线被两个食指所在的直线所截，因而构成的一对角可看成是内错角．
本题主要考查了内错角，掌握内错角的定义是解题的关键.
【解答】
解：角在被截线的内部，又在截线的两侧，符合内错角的定义，
故选：B.
9.【答案】M17936
【解析】解：
----------------------------
M 1 7 9 3 6
∴该车的牌照号码是M17936.
故答案为：M17936.
易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
此题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
10.【答案】2
【解析】解：由勾股定理可得：AB= 12+12= 2，BC= 22+22=2 2，AC= 12+32= 10，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tanA=BCAB=2 2 2=2，
故答案为：2.
根据网格线的特点可得AB，BC，AC，进而可知△ABC是直角三角形，再利用正切的定义即可解答．
本题考查了正切的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
11.【答案】22cm
【解析】解：根据题意，分两种情况：
①腰是4cm，
∵4+44，
∴底是4cm满足条件，
则周长为：9+9+4=22(cm)，
故答案为：22cm.
根据题意，分两种情况：①腰是4cm，②底是4cm，根据三角形的三边关系进行判断，即可确定三角形的周长．
本题考查了等腰三角形的性质，涉及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：∵DE是边AB的中垂线，
∴DA=DB，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+AC+BC=18cm，
∵AB=8cm，
∴AC+BC=10cm，
∴△ADC的周长，
故答案为：10.
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13.【答案】10
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
，∠ABC=90∘，，∠AGF=90∘，
，∠BGF=90∘，
∵正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，
∴a2+b2=15，
∵D、A、E三点共线且DE=5，
∴DE=AD+AE=a+b=5，
∴(a+b)2=25，
∴a2+b2+2ab=25，
∴15+2ab=25，
∴ab=5，
，，S正方形AEFG=b2，
∴S阴影=S△ABG+S△BGF+S正方形AEFG=a22+ab−b22+b2=a2+b2+ab2，
∵a2+b2=15，ab=5，
∵S阴影=15+52=10.
故答案为：10.
设正方形ABCD边长为a，正方形AEFG边长为b，依题意得a2+b2=15，a+b=5，进而得a2+b2+2ab=25，由此得ab=5，再求出S△ABG=a22，S△BGF=ab−b22，S正方形AEFG=b2，继而得S阴影=a22+ab−b22+b2=a2+b2+ab2，然后将a2+b2=15，ab=5代入计算即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
14.【答案】4cm
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90∘，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∵BC=10cm，BD=6cm，
∴CD=BC−BD=10−6=4cm，
∴点D到AB的距离为4cm.
故答案为：4cm.
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据CD=BC−BD求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】21
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CA=CB，∠DCB=90∘，
∵点F与点B关于直线CE对称，
∴CF=CB，∠FCE=∠BCE，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=24∘，
，
∴∠FCB=132∘−90∘=42∘，
∠BCE=12∠FCB=21∘.
故答案为：21.
证明CD=CF，推出，求出，再求出∠FCB=42∘可得结论．
本题考查轴对称变换，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】30∘
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=CB=AB，∠ACB=∠B=60∘，
∵AD=BE，
∴BD=CE，
∵在△ACE和△CBD中，
AC=CB ∠ACE=∠B CE=BD ，
∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFG=∠CAF+∠ACF，
∴∠AFG=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60∘，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90∘，
∴∠FAG=90∘−60∘=30∘.
故答案为：30∘.
先根据等边三角形的性质得到AC=CB=AB，∠ACB=∠B=60∘，则由AD=BE得到BD=CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE=∠BCD，所以∠AFG=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60∘，而∠AGF=90∘，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，全等三角形的对应角相等．也考查了等边三角形的性质．
17.【答案】证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
即∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA).
【解析】由“ASA”可证△AEC≌△BED.
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
18.【答案】证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2AC=AC∠3=∠4，
∴△ABC≌△ADC(ASA)；
(2)由(1)知△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，AB=AC，
∴点C、A在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD.
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及垂直平分线的判定．
(1)由∠1=∠2，∠3=∠4，再加AC为公共边可证△ABC≌△ADC；
(2)由(1)可得BC=DC，AB=AD，可得A、C都在BD的垂直平分线上，可得结论．
19.【答案】61∘.
【解析】解：由旋转的性质可知：∠DAE=∠BAC，DA=BA，
在Rt△ABC中，∠ABC=32∘，
∴∠BAC=90∘−∠ABC=58∘，
∴∠DAE=∠BAC=58∘，
又∵点E在AB上，
∴∠DAB=∠DAE=58∘，
∵DA=BA，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=12(180∘−∠DAB)=61∘.
由旋转的性质可得出∠DAE=∠BAC，DA=BA，由三角形内角和定理可得出∠DAE=∠BAC=58∘，进而得出∠DAB=∠DAE=58∘，由等边对等角的性质可得出∠ABD=∠ADB，最后再根据三角形内角和求解即可．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)4；
(3)如图点Q即为所求．
【解析】解：(1)见答案；
(2)如图，
满足条件的点P有4个，
故答案为4.
(3)见答案.
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)在线段AB的垂直平分线上，找出格点即可．
(3)连接BC′交直线l于点Q，连接CQ，此时BQ+CQ的值最小．
本题考查作图-轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，AB= 12+22= 5，
AC= 22+42=2 5，BC= 32+42=5，
∵( 5)2+(2 5)2=25=52，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，
直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
∴▱ABCD的面积为：AB×AC= 5×2 5=10.
【解析】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理以及勾股定理的逆定理解答．
(1)分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
(2)过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，根据平行四边形的面积解答即可．
22.【答案】解：(1)∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴BC=BE=6，BD=AB=9，
∴AE=AB−BE=9−6=3；
(2)如图，
∵∠C=110∘，∠BAC=40∘，
∴∠ABC=180∘−∠BAC−∠C=30∘，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，∠ABC=∠DBC=30∘，
∴∠BDA=∠BAD=12×(180∘−30∘)=75∘.
【解析】(1)由旋转的性质得出BC=BE=6，BD=AB=9，则可得出答案；
(2)由旋转的性质可得出AB=BD，∠ABC=∠DBC=30∘，则可得出答案．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
23.【答案】证明：(1)延长AE交BC的延长线于点H，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，且∠D=∠ECH=90∘，∠AED=∠CEH，
∴△ADE≌△HCE(ASA)
∴AD=CH，∠DAE=∠H，
∵AB=BC+AD，BH=BC+CH，
∴AB=BH，
∴∠H=∠BAH，
∴∠DAE=∠BAH，
∴AE平分∠DAB；
(2)△ACB是等边三角形，
理由如下：∵点E是AB中点，
∴AE=BE=12AB，
∵AC=CB，AE=BE，
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE，
∵AB=2AD，
∴AD=AE，且AC=AC，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL)
∴∠ACD=∠ACE，
，且∠ACD+∠ACE+∠BCE=90∘，
，
∴∠ACB=60∘，且AC=BC，
∴△ACB是等边三角形．
【解析】(1)延长AE交BC的延长线于点H，由“ASA”可证△ADE≌△HCE，可证AD=CH，∠DAE=∠H，可证AB=BH，可得∠H=∠BAH=∠DAE，可得结论；
(2)由等腰三角形的性质可得CE⊥AB，∠ACE=∠BCE，由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△ACE，可得∠ACD=∠ACE，可求∠ACD=∠ACE=∠BCE=30∘，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24.【答案】解：∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3，
∵BD=5，
∴BE= BD2−DE2= 52−32=4.
【解析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=3，再由勾股定理求得BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
25.【答案】证明：∵Δ=[−(m+2)]2−4(m+1)
=m2+4m+4−4m−4
=m2≥0，
∴无论m取何值，方程都有两个实数根；
m=6
【解析】(1)证明：∵Δ=[−(m+2)]2−4(m+1)
=m2+4m+4−4m−4
=m2≥0，
∴无论m取何值，方程都有两个实数根；
(2)解：根据题意得2x1+2x2−x1x2=9，
，
∴m=6.
(1)计算一元二次方程根的判别式，进而即可求证；
(2)利用根与系数的关系x1+x2=m+2，x1x2=m+1，然后代入求解即可．
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ