2026届广东省惠州仲恺区七校联考数学九上期末考试模拟试题含解析

这是一份2026届广东省惠州仲恺区七校联考数学九上期末考试模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了对于二次函数y=等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是( )
A．①②B．②③C．②④D．①③④
2．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱
3．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8B．10C．D．
4．如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）
A．③—④—①—②B．②—①—④—③C．④—①—②—③D．④—①—③—②
5．如图，的半径为5，的内接于，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOCB．△AOB∽△DOC
C．CD＝BCD．BC•CD＝AC•OA
7．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
8．若点、、都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．当x=-1,时，y有最大值是2 C．对称轴是x=-1 D．顶点坐标是（1,2）
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝1．
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．方程x2-x-1=0的根是（ ）
A．，B．​，
C．，D．没有实数根
12．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（ ）
A．5m B．2m C．5m D．10m
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，关于的函数解析式为，那么当时，关于的函数解析式为________．
14．如图，△ABC内接于圆，点D在弧BC上，记∠BAC-∠BCD=α，则图中等于α的角是_______
15．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．
16．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．
17．如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝_____．
18．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知反比例函数的图像经过点（2，-3）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）点（-1，6），（3，2）是否在这个函数的图像上？
（3）这个函数的图像位于哪些象限？函数值y随自变量的增大如何变化？
20．（8分）如图，在与中，，且.
求证：.
21．（8分）如图3，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为的正方形，再折成如图3所示的无盖纸盒，记它的容积为．
（3）关于的函数表达式是__________，自变量的取值范围是___________．
（3）为探究随的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：
①列表：请你补充表格中的数据：
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．
（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过，估计正方形边长的取值范围．（保留一位小数）
22．（10分）二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．
求此二次函数的解析式；
将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标．
利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是________．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝，请你解答下列问题：
（1）m＝ ，抛物线与x轴的交点为 ．
（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（3）x取什么值时，y＜0？
24．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值：
则m的值为 ；
(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质 ；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ；
25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．
（1）求证：PD∥CB；
（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．
26．如图，中，，，面积为1．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求出点到两条直角边的距离．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据题意可得：a0，b0，c0，则abc0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：=1，则-b=2a，即2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y0，即4a+2b+c0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则，则④正确.
点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a0，如果开口向下，则a0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y的值；如果出现a-b+c，则看x=-1时y的值；如果出现4a+2b+c，则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大.
2、B
【分析】根据几何体的三视图，可判断出几何体.
【详解】解：∵主视图和左视图是等腰三角形
∴此几何体是锥体
∵俯视图是圆形
∴这个几何体是圆锥
故选B.
此题主要考查了几何体的三视图，关键是利用主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
3、D
【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝,
∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，
故选D．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．
4、B
【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.
【详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；
影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案
故选B
本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.
5、C
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，利用垂径定理和勾股定理求出OH的长，再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH，即可利用等角的余弦值相等求得结果.
【详解】如图，连接OA、OB，作OH⊥AB，
∵AB=8，OH⊥AB，
∴AH=AB=4，∠AOB=2∠AOH,
∵OA=5，
∴OH=,
∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠ACB=∠AOH,
∴=cs∠AOH=,
故选：C.
此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，圆周角定理，利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH，由此利用等角的函数值相等解决问题.
6、D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A不符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B不符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
7、D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8、B
【分析】根据反比例函数的图象特征即可得．
【详解】反比例函数的图象特征：（1）当时，y的取值为正值；当时，y的取值为负值；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大
由特征（1）得：，则最大
由特征（2）得：
综上，
故选：B．
本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键．
9、D
【解析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.
【详解】A、由二次函数的解析式y＝（x＋1）2＋2，可知系数＞1，故函数图像开口向上.故A项错误；B、将x＝﹣1代入解析式，得到y＝6，故B项错误；C、由二次函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知对称轴为x＝1，故C项错误；D、函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知该函数的顶点坐标是（1,2），故D项正确.故选D.
本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键.
10、C
【分析】①根据折叠的性质∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明▱BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF．
【详解】①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE(SAS)；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝，BE＝，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝，
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝，
∴sin∠PCB＝；
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，4个，
故选：C．
本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．
11、C
【解析】先求出根的判别式b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，然后根据一元二次方程的求根公式为，求出这个方程的根是x==.故选C．
12、B
【详解】解：由题意得：BC：AB=1：2，设BC=x，AB=2x，
则AC===x=10，
解得：x=2．
故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】将x=1代入得出此时y的值，然后设当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：∵当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=1x，
∴当x=1时，y=1．
又∵当x=2时，y=11，
设当1＜x≤2时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（1，1），（2，11）分别代入解析式得，
，解得，
所以，当时，y关于x的函数解析式为y=100x-2．
故答案为：y=100x-2．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，比较简单．
14、∠DAC
【分析】由于∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，故∠BAD=∠BCD，故∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD，即可得出答案.
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD=∠DAC，
∵∠BAC-∠BCD=α
∴∠DAC=α
故答案为：∠DAC.
本题考查了圆周角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.
15、8或
【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．
【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
由垂径定理可知，
∴，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则，
∴；
②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．
16、x（x-1）=1
【解析】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1．
故答案是（x﹣1）x=1．
考点:列一元二次方程．
17、1
【分析】设点C（），则点D（），然后根据CD的长列出方程，求得x的值，得到D的坐标，解直角三角形求得AD．
【详解】解：设点C（），则点D（），
∴CD＝x﹣（）＝
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∴＝5，解得x＝1，
∴D（﹣3，），
作DE⊥AB于E，则DE＝，
∵∠DAB＝60°，
故答案为：1．
本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．
18、且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且k≠1．
故答案是：且k≠1．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=-；（2）(-1，6)在函数图像上，(3，2)不在函数图像上；（3）二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象上点的坐标特征，把点(﹣1，6)，(3，2)代入解析式即可判断；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设反比例函数的解析式为y(k≠0)．
∵反比例函数的图象经过点(2，﹣3)，
∴k=2×(﹣3)=﹣6，
∴反比例函数的表达式y；
（2）把x=﹣1代入y得：y=6，
把x=3代入y得：y=﹣2≠2，
∴点(﹣1，6)在函数图象上，点(3，2)不在函数图象上．
（3）∵k=﹣6＜0，
∴双曲线在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法以及反比例函数的性质是解答本题的关键．
20、见解析
【分析】先证得，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
【详解】∵，
∴，
即，
又，
∴．
本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
21、（3），；（3）①36，8；②见解析；③见解析；（3）（或）
【分析】（3）先根据已知条件用含x的式子表示出长方体底面边长，再乘以长方体的高即可；
（3）①根据（3）得出的关系式求当x=3、3时对应的y的值补充表格；②③根据描点法画出函数图像即可；
（3）根据图像知y=33时，x的值由两个，再估算x的值，再根据图像由y＞33，得出x的取值范围即可．
【详解】解：（3）由题意可得，无盖纸盒的底面是一个正方形，且边长为（6-3x）cm，
∴，
x的取值范围为：3＜6-3x＜6，解得．
故答案为：；；
（3）①当x=3时，y=4-34+36=36；当x=3时，y=4×8-34×4+36×3=8；
故答案为：36，8；
②③如图所示：
（3）由图像可知，当y=33时，3＜x＜3，或3＜x＜3，
①当3＜x＜3时，
当x=3.4时，y=33.836，当x=3.5时，y=33.5，∴当y=33时，x≈3.5（或3.4）；
②当3＜x＜3时，
当x=3.6时，y=33.544，当x=3.7时，y=33.493，∴当y=33时，x≈3.6（或3.7），
∴当y＞33时，x的取值范围是（或）．
本题主要考查列函数关系式、函数图像的画法、根的估算以及函数的性质，解题的关键是掌握基本概念和性质．
22、 (1) (2)，顶点坐标为(2,-9)，B(5,0) (3)
【解析】(1)直接代入三个坐标点求解解析式；
(2)利用配方法即可；
(3)关于的一元二次方程的根，就是二次函数与的交点，据此分析t的取值范围.
【详解】解：(1)代入A、D、C三点坐标：
，解得，故函数解析式为：；
(2)，故其顶点坐标为(2,-9)，
当y=0时，，解得x=-1或5，由题意可知B(5,0)；
(3)，故当时，-9≤y＜0，故-9≤t＜0.
本题第3问中，要理解t是可以取到-9这个值的，只有x=-1和x=3这两个端点对应的y值是不能取的.
23、（1）2；（﹣1，1），（2，1）；（2）x＞；（3）x＜﹣1或x＞2
【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−=，解方程得到m的值，从而得到y＝−x2＋x＋2，然后解方程−x2＋x＋2＝1得抛物线与x轴的交点；（2）根据二次函数的性质求解；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝−=，
∴m＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，1），（2，1）；
（2）由函数图象可知,
当x＞时，y的值随x的增大而减小；
（3）由函数图象可知,
当x＜﹣1或x＞2时，y＜1．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠1）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
24、 (1)x≠3；(2)；(3)详见解析；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；(5)