广东省惠州仲恺区七校联考2026届数学九年级第一学期期末检测模拟试题含解析

这是一份广东省惠州仲恺区七校联考2026届数学九年级第一学期期末检测模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，一元二次方程有实数解的条件等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系中，点P(﹣2，7)关于原点的对称点P'在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法正确的是（ ）
①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0有两个不相等的实数根．
A．①②③B．①④⑤C．②③④D．③④⑤
3．方程组的解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．70，81B．81，81C．70，70D．61，81
5．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．一元二次方程有实数解的条件( )
A．B．C．D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则∠CDM等于
A．B．C．D．
8．下列函数，当时，随着的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知矩形ABCD，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠A+∠C＝180°
10．两个相似三角形对应高之比为，那么它们的对应中线之比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果，那么锐角_________°．
12．将抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式为______．
13．《算学宝鉴》中记载了我国数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何?”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步?如果设矩形田地的长为x步，可列方程为_________．
14．现有6张正面分别标有数字的不透明卡片，这些卡片除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根的概率为____．
15．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝______度．
16．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．
17．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，，，随机摸出一个小球（不放回），其数字为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是___________．
18．如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，BD＝2，求⊙O的半径．
20．（6分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．
21．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．
22．（8分）综合与探究：
如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；
（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；
（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.
23．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，CE＝1，试求BD的长．
24．（8分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
26．（10分）阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；
小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．
（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．
（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称的点的坐标是，即关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，这样就可以确定其对称点所在的象限．
【详解】∵点关于原点的对称点的坐标是，∴点关于原点的对称点在第四象限．
故选：D．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．
2、D
【分析】利用不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故①说法错误；
若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故②说法错误；
③一个正六边形的内角和是180°×（6-2）=720°其外角和是360°，所以一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，故③说法正确；
随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，所以随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，故④说法正确；
关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0，，所以方程有两个不相等的实数根，故⑤说法正确．
故选：D.
本题考查了不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键．
3、A
【分析】分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】解：根据x、y的正负分4种情况讨论：
①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
此时方程组的解为；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4、A
【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.
【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81， 81，
故这组数据的中位数为：70
根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.
故选：A.
此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.
5、D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误；
B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误；
C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误；
D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确．
故选D．
解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
6、B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】一元二次方程有实数解
则，即
解得
故选：B．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
7、A
【分析】根据正方形的特点可知∠CDM=∠DEA,利用勾股定理求出DE，根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵CD∥AB，∴∠CDM=∠DEA,
∵E是AB中点，
∴AE=AB=1
∴DE=
∴∠CDM=∠DEA==
故选A.
此题主要考查余弦的求解，解题的关键是熟知余弦的定义.
8、D
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】在y＝2x＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
在y＝−x2−2x＝−（x＋1）2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化．
9、C
【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
只有AB＝BC时，AC⊥BD，
∴A、B、D不符合题意，只有C符合题意，
故选：C．
此题主要考查了矩形的性质的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10、A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．
【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，
∴它们的相似比是1:2，
∴它们对应中线之比为1:2.
故选A.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、30
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.
【详解】∵
∴
故答案为30
本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
12、y＝﹣（x﹣1）1+1
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】将抛物线y＝﹣x1向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）1+1．
故答案是：y＝﹣（x﹣1）1+1．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
13、x（x-12）=864
【解析】设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x−12)步．
根据矩形面积=长×宽,得：x(x−12)=864.
故答案为x(x−12)=864.
14、
【分析】先由一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，得出a的取值范围，最后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，
∴4-4（a-2）≥0，
∴a≤1，
∴a=-1，0，1，2，1．
∴使得关于x的一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根概率为：.
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根情况数是解决本题的关键．
15、1
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB，AC′＝AC，
∵∠BAC'＝80°，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝C′AB＝40°，
∴∠ACC′＝70°，
∴∠B＝∠ACC′﹣∠CAB＝1°，
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16、．
【详解】解：由题意作出树状图如下：
一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P=．
考点：列表法与树状图法.
17、．
【解析】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有4种情况，∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：．故答案为．
18、1
【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】设点P的坐标为（x，y），
∵点P的反比例函数的图象上，
∴xy＝﹣1，
作轴于，作轴于，
∴四边形PMON为矩形，
∴四边形PMON的面积为|xy|＝1，
故答案为1．
考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴
∴AD＝1．
∴⊙O的半径为．
此题考查圆的综合，圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解题关键是根据勾股定理列方程解决问题．
20、 (1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．
【分析】(1) 将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式;
(2)设P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而得到P点坐标;
(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例，可求出a的值.
【详解】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式y=x2–x+1．
(2)设点P坐标为（x，0）．
∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），
∴PB==，
CP= =，
BC= =2，
若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．
∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．
若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．
∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．
若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．
∴x2+1+x2–8x+25=20，
∴x1=1，x2=3，
综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．
(3)a=或．
∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，
∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．
∵点B（0，1），C（4，3），
∴直线BC解析式y=x+1．
当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．
∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），
∴AD=3，AB=．
设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，
若△APQ∽△ADB，
∴，即，∴a=，
若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．
综上所述：a=或．
此题考查了二次函数解析式的确定、 直角三角形的判定以及相似三角形的性质等, 难度适中.
21、1
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=1．
本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．
22、（1），，；（2）点的坐标为；（3）
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设点，用三角形的面积公式得到求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m-1）2+9，AB2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交与，两点
∴，.
∴，.
∴，.
∵点在反比例函数上，
∴.
∴反比例函数的函数表达式为.
（2）设点，
∵，∴.
∴.
∵，∴.
∴，
∵
∴.
解得：，
∴.
∴点的坐标为.
（3）设出点M坐标为（m,0），
∴MA2=（m-1）2+9，AB2=（1+3）2+（3+1）2=32，
∵是以为顶角的等腰三角形
∴AM=AB,
故（m-1）2+9=32
解得m=或m=（舍去）
∴
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.
23、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）根据三角函数的定义得到，求得∠A＝30°，得到∠DEB＝∠AEC＝60°，推出△DEB是等边三角形，得到BE＝BD，设EF＝BF＝x，求得AB＝2x+2，过O作OH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，DE＝DB，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为，点C是半径OA的中点，
∴，
∵CE＝1，
∴，
∴∠A＝30°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DEB＝∠AEC＝60°，
∵DF垂直平分BE，
∴DE＝DB，
∴△DEB是等边三角形，
∴BE＝BD，
设EF＝BF＝x，
∴AB＝2x+2，
过O作OH⊥AB于H，
∴AH＝BH＝x+1，
∵，
∴，
∴AB＝6，
∴BD＝BE＝AB﹣AE＝1．
本题考查了切线的判定定理，三角函数，等边三角形的性质以及解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握切线的判定方法，能够熟记特殊角的锐角函数值，给出三角函数值能够推出角的度数，要正确理解直角三角形中边角的关系
24、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
25、（2）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（2）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=2，从而求出BE=2．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（2）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有2个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=2．
∴ BE=2．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
26、CD=5；（1）见解析；（2）
【分析】（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，证明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，证明△CEF∽△CDE，由比例线段可求出CF＝1，则CD可求出；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通过证明△DBE∽△ATD，可得 ，可得 ，通过证明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．
【详解】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE＝AD＝AE，
∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，
且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BDA＝∠DEF，
∴△ADB∽△DEF，
∴＝，
∵AB＝2，
∴DF＝4，
又∵∠CDE+∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠CDE，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
又∵DF＝4，CE＝，
∴，
∴CF＝1或CF＝5（舍去），
∴CD＝CF+4＝5；
（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，
∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，
∴AB＝AC，AD＝CD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EAD+∠EBD＝90°，
∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，
∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，
∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，
∴△DBE∽△ATD，
∴，∠ADT＝∠BED，
∴，且AD＝DC，
∴，
∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，
∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，
∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，
∴△ARE≌△ATD（ASA）
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，
∴∠BED＝∠AER，
∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，
∴RE＝RB＝DT，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT（AAS）
∴BR＝TC，
∴DT＝TC，
∴CD＝2DT，
∴＝
本题主要考查相似三角形及全等三角形的判定及性质，作合适的辅助线对证明三角形相似起到关键作用.