高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品复习练习题

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一.一元二次不等式的概念
注意事项：
（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.
(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.
二.“三个二次”的关系
一元二次不等式的解法
一元二次不等式，a为正值来定形；
对应方程根求好，心中想想抛物线；
大于异根取两边，小于异根夹中间；
大于等根根去掉，小于等根空集成；
大于无根取全体，小于无根不可能！
注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．
四.一元二次不等式恒成立问题
1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
一．解不含参数的一元二次不等式的方法
1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.
2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.
二．解含参数的一元二次不等式的方法
1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；
2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式
注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
考点一 解不含参数的一元二次不等式
【例1】（2023·湖南）解下列不等式：
(1) (2) (3) (4)
【一隅三反】
（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：
； (2)； (3)； (4)
(5) (6) (7)； (8)；
(9)； (10).
考点二 解含参数的一元二次不等式
【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式
【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式.
【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式.
【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式
3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．
4．（2023·上海）解关于的不等式.
考点三 三个“二次”之间的关系
【例3-1】（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ）
A．和B．
C．D．和
3．（2022秋·天津）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
考点四 一元二次不等式恒成立
【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023·云南红河）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例4-3】（2023·河南）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·西藏）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·高一校考单元测试）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
考点五 一元二次不等式的实际应用
【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？
【一隅三反】
1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30B．20≤x≤45
C．15≤x≤30D．15≤x≤45
2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（ ）（精确到1）
A．76B．77C．78D．80
3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点六 根的分布
【例6】（2023·湖北）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【一隅三反】
1．（2023·江苏南京）（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程．
(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；
(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．
3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x的不等式的解集为．
(1)当时，求的值；
(2)若，，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的最小值．
一元二次不等式
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
解集
ax2＋bx＋c>0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c<0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1有两个相等的实数根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅