人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀第2课时2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀第2课时2课时学案设计，共11页。学案主要包含了分式不等式的解法，一元二次不等式的实际应用，十月份的销售总额与七等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．








知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤


1．理解题意，搞清量与量之间的关系；


2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．


3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．


预习小测 自我检验


1．不等式eq \f(1＋x,1－x)≥0的解集为________．


答案 {x|－1≤x<1}


解析 原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－1≤0，,x－1≠0，))


∴－1≤x<1.


2．不等式eq \f(1,x)≤1的解集为________．


答案 {x|x≥1或x<0}


解析 ∵eq \f(1,x)≤1，∴eq \f(x－1,x)≥0，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－1≥0，,x≠0，))∴x≥1或x<0.


3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0

答案 150


解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，


即x2＋50x－30 000≥0，


解得x≥150或x≤－200(舍去)．


4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0

答案 {t|10≤t≤15，t∈N}


解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，


依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，


解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．





一、分式不等式的解法


例1 解下列不等式：


(1)eq \f(2x－5,x＋4)<0； (2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.


解 (1)eq \f(2x－5,x＋4)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4

(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，


∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).


反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．


跟踪训练1 解下列不等式：


(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；(2)eq \f(2－x,x＋3)>1.


解 (1)原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－13x＋1≥0，,3x＋1≠0.))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,3)或x≥\f(1,2)，,x≠－\f(1,3)，))∴x<－eq \f(1,3)或x≥eq \f(1,2)，


∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,3)或x≥\f(1,2))))).


(2)方法一 原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,2－x>x＋3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3<0，,2－x

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－3，,x<－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－3，,x>－\f(1,2)，))


∴－3

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

方法二 原不等式可化为eq \f(2－x－x＋3,x＋3)>0，


化简得eq \f(－2x－1,x＋3)>0，即eq \f(2x＋1,x＋3)<0，


∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

二、一元二次不等式的实际应用


例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．


(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；


(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．


解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0

(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．


依题意得eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，


化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.


又因为0

即x的取值范围为{x|0

反思感悟 解不等式应用题的步骤





跟踪训练2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．


(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？


(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq \f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq \f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？


解 (1)设每件定价为t元，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8，


整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.


所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．


(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋eq \f(1,6)(x2－600)＋eq \f(x,5)有解，


等价于当x>25时，a≥eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)＋eq \f(1,5)有解．


由于eq \f(150,x)＋eq \f(x,6)≥2eq \r(\f(150,x)·\f(x,6))＝10，当且仅当eq \f(150,x)＝eq \f(x,6)，即x＝30时等号成立，


所以a≥10.2.


故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．





不等式恒成立问题


典例 (1)若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；


(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．


解 (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，


∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，


∴0

∴m的取值范围为{m|0

(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，


∴m<0，


∴m的取值范围为{m|m<0}．


[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况：


ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))


ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0.))





1．不等式eq \f(x－1,x－2)≥0的解集为( )


A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}


C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}


答案 D


解析 由题意可知，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1x－2≥0，,x－2≠0，))


∴x>2或x≤1.故选D.


2．不等式eq \f(3,x＋1)≥1的解集是( )


A．{x|x<－1或－1

B．{x|－1≤x≤2}


C．{x|x≤2}


D．{x|－1

答案 D


解析 ∵eq \f(3,x＋1)≥1，∴eq \f(3,x＋1)－1≥0，∴eq \f(3－x－1,x＋1)≥0，


即eq \f(x－2,x＋1)≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，


故－1

3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )


A．12元 B．16元


C．12元到16元之间 D．10元到14元之间


答案 C


解析 设售价定为每件x元，利润为y，


则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，


依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，


即x2－28x＋192<0，解得12

所以每件售价应定为12元到16元之间．


4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式eq \f(x＋a,b－x)<0的解集为__________．


答案 {x|x>－a或x

解析 原不等式等价于


(x＋a)(b－x)<0⇔(x－b)(x＋a)>0.


又a＋b<0，所以b<－a.


所以原不等式的解集为{x|x>－a或x

5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．


答案 {t|3≤t≤5}


解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y 万元，


则y＝2 400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．


令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.





1．知识清单：


(1)简单的分式不等式的解法





(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：


①选取合适的字母表示题目中的未知数；


②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；


③求解所列出的不等式(组)；


④结合题目的实际意义确定答案．


2．方法归纳：转化、恒等变形．


3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．











1．不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x≤2)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x<2))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2或x≤\f(3,4))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,4)))))


答案 B


解析 不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1，移项得eq \f(3x－1,2－x)－1≥0，


即eq \f(x－\f(3,4),x－2)≤0，可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)≥0，,x－2<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)≤0，,x－2>0，))


解得eq \f(3,4)≤x<2，则原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x<2))))，


故选B.


2．与不等式eq \f(x－3,2－x)≥0同解的不等式是( )


A．(x－3)(2－x)≥0 B．0

C.eq \f(2－x,x－3)≥0 D．(x－3)(2－x)>0


答案 B


解析 解不等式eq \f(x－3,2－x)≥0，得2

A．不等式(x－3)(2－x)≥0的解是2≤x≤3，故不正确．


B．不等式0

C．不等式eq \f(2－x,x－3)≥0的解是2≤x<3，故不正确．


D．不等式(x－3)(2－x)>0的解是2

3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式eq \f(ax＋b,x－2)>0的解集为( )


A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1

C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1

答案 C


解析 x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，


∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，


∴a>0，


故eq \f(ax＋b,x－2)＝eq \f(ax＋1,x－2)>0，


等价为(x＋1)(x－2)>0.


∴x>2或x<－1.


4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )


A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1

C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}


答案 A


解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，


∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，


∴－1≤a≤4，故选A.


5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )


A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}


C．{x|15

答案 C


解析 设这批台灯的销售单价为x元，


则[30－(x－15)×2]x>400，


即x2－30x＋200<0，∴10

又∵x>15，∴15

6．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．


答案 {x|x<0}


解析 由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－2a))且a<0，


∴不等式eq \f(2a＋b,x)＋c>bx可化为eq \f(a,x)－2a>－ax，


∵a<0，即eq \f(1,x)－2<－x，即eq \f(x－12,x)<0，


∴x<0.





7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．


答案 {x|100

解析 5%

解得x的取值范围是{x|100

8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝eq \f(1,18)x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.


答案 80


解析 根据题意，得eq \f(1,18)x＋eq \f(1,180)x2≥40.


移项整理，得x2＋10x－7 200≥0.


显然Δ>0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根，


即x1＝80，x2＝－90，


然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象(图略)，


得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．


在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.


9．解关于x的不等式eq \f(a－x,x＋1)>0(a∈R)．


解 原不等式可化为eq \f(x－a,x＋1)<0，


即(x＋1)(x－a)<0，


①当a＝－1时，x∈∅；


②当a>－1时，{x|－1

③当a<－1时，{x|a

综上，a＝－1时，不等式的解集为∅，


a>－1时，不等式的解集为{x|－1

a<－1时，不等式的解集为{x|a

10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；


(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？


解 (1)由题意得


y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，


必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－12－10×10 000>0，,0

即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6 000x2＋2 000x>0，,0

解得0

所以投入成本增加的比例x应在0




11．不等式eq \f(x2－x－2,x－2)>0的解集为( )


A．{x|x>－1且x≠2} B．{x|x>－1}


C．{x|－12}


答案 A


解析 原不等式可化为eq \f(x－2x＋1,x－2)>0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－2≠0，))∴x>－1且x≠2.故选A.


12．若a>0，b>0，则不等式－b

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,b)或x>\f(1,a)))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,a)或x>\f(1,b)))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,b)

答案 A


解析 原不等式可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)>－b，,\f(1,x)0，,\f(ax－1,x)>0，))


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,b)或x>0，,x<0或x>\f(1,a)，))


故不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,b)或x>\f(1,a))))).


13．不等式eq \f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为( )


A．{x|x≠－2} B．R


C．∅ D．{x|x<－2或x>2}


答案 A


解析 ∵x2＋x＋1>0恒成立，


∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，


∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．


14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．


答案 乙车


解析 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，


s乙＝0.05x＋0.005x2>10.


分别求解，得


x甲<－40或x甲>30.


x乙<－50或x乙>40.


由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.


经比较知乙车超过限速，应负主要责任．





15．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．


答案 20


解析 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，


则y＝3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，


解得1＋x%≤－eq \f(11,5)(舍去)或1＋x%≥eq \f(6,5)，即x%≥20%，所以xmin＝20.


16．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：


(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；


(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；


(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．


解 税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，


即销售额为y1＝80(80－10P)，


税金为y2＝80(80－10P)·P%，


其中0

(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8080－10P·P%≥96，,0

解得2≤P≤6.


(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，


∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．


(3)∵0

y2＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，


∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．