安徽省滁州市凤阳县上学期九年级期末检测数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省滁州市凤阳县上学期九年级期末检测数学试卷（解析版）-A4，共25页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键．
根据比例中项的定义解答即可．
【详解】解：∵b是a，c的比例中项，
∴，
∵，
∴，
解得．
∴的长度为，
故选：A．
3. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴该函数的对称轴为x=-1
∴当x＜-1，y随x增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小
∵-1＜1＜2
∴y1＞y2
∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2
∴y3＞y1
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系以及函数的对称性和增减性，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键．
4. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在方格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．
【详解】解：如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，
在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理等知识点，角的余弦是角的邻边比斜边．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为，
此时抛物线的顶点坐标为．
故选：C．
6. 如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是圆周角定理的熟练掌握．
先根据等腰三我的性质与三角形内角和定理求得，再根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由图可知：，
故选：D．
7. 点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键；根据二次函数的对称轴为，可得出，将代入二次函数解析式中，可得出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
∴二次函数的解析式为，
∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为，，得到，，根据两角对应相等的两三角形相似得出，代入计算即可得到结果．
【详解】提示：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为，．
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴相似比为，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，．
∴，
∴
∴．
故选：D
9. 已知抛物线为常数，且，关于抛物线的下列说法中，不正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 若，则抛物线与轴有两个交点
C. 若点在抛物线上，则
D. 若点在抛物线上，且，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，关键是对二次函数的性质以及二次函数与方程根的关系的应用．
根据函数解析式求出对称轴即可判断A；设，是方程的两个根，由根与系数的关系得出，根据，，可以得出两根异号，从而判断B；根据抛物线对称轴和抛物线开口方向可以得出，再根据可以判断C；根据，和函数性质可以判断D．
【详解】解：A、，
抛物线的对称轴是直线，正确，故此选项不符合题意；
B、令，则．
若，
则抛物线与轴有两个交点，正确，故此选项不符合题意；
C、，顶点坐标为，抛物线开口向上，
若点在抛物线上，则，错误，故此选项符合题意；
D、抛物线开口向上，若点在抛物线上，且，
则，
，正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项．
【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s），
∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为．
①当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点Q作于点E，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点C作于点F，则为中边上的高．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为y随x增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当时，点P在线段上，点Q在线段上．
过点P作于点M．
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴．
由题意得：．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 抛物线的对称轴是_________．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
根据二次函数的性质确定对称轴即可．
【详解】解：由二次函数的性质可得：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：直线．
12. 如图，在中，，于点，，，则的值为______．

【答案】####
【解析】
【分析】由题意易证，即得出 ，从而得出，解出的值即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查同角的余角相等，正切的定义．证明出是解题关键．
13. 如图，是⊙O的直径，点，在⊙O上，，则______．
【答案】120°
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，再利用三角形内角和定理可计算出∠B=180°-∠ACB-∠CAB=60°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，从而易计算出∠D的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°-60°=120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了圆内接四边形的性质．
14. 如图，在中，，，，平分交于点，点是一动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点．
（1）的长度是_______；
（2）若，则的长度是_________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件得，从而得到，然后证明，求出，根据进行计算即可得出的长；由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据求出，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
故答案为：5；
（2）解：由翻折可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
16. 已知，求下列算式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】设，则，，把a、b的值代入整式进行计算即可．
【小问1详解】
解：设（），则，，
∴；
【小问2详解】
解：设（），则，，
∴．
【点睛】本题考查比例的性质及整式代入求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；
（2）将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．
18. 如图有一座抛物线形拱桥，桥下在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？
【答案】（1）；（2）再持续4小时到达拱桥顶
【解析】
【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可；
（2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到警戒水位CD的距离，进而求出时间．
【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得：，
；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
（小时），
∴再持续4小时到达拱桥顶．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据： ）
【答案】70米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
作于，于，根据坡度的概念求出的度数，根据正弦的定义求出，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出算式，求出，得到的长，根据计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点于点，
则四边形为矩形，
．
坡的坡度，
，
，
米．
在中，，
，
在中，，
．
，
，
解得米，
（米），
（米）．
的高度约为70米．
20. 如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为2.5．
【解析】
【分析】（1）连接，，过作于点，根据三线合一可得，然后根据角平分线的性质可得，然后根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）连接，过作于点，根据平行线的判定证出，证出，根据角平分线的性质可得，然后利用HL证出，从而得出，设的半径为，根据勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，，过作于点．
∵，是底边的中点，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，过作于点．
∵点是的中点，
∴，
∴
∴，
∴
在和中，
∴
∴
设的半径为
由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2
即，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
六、（本题12分）
21. 如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，分别交于点O，F．
（1）若的面积为2，求平行四边形的面积；
（2）求证：．
【答案】（1）24 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定，，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及的面积为2，可求得答案．
（2）由，，分别判定，，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论．
【小问1详解】
解： 四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
；
四边形平行四边形，
∴，
，
，
，
，
平行四边形的面积为：．
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
．
七、（本题12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接，，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）的最大值为
【解析】
【分析】（1）首先根据题意，求出，两点的坐标，再根据抛物线经过A，C两点，把，两点的坐标代入抛物线，即可联立方程组，然后解出和的值并代入抛物线，即可得出抛物线的解析式；
（2）首先令y＝0，根据（1）中抛物线解析式，即可求出点的坐标，然后过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，可得，进而得出，再根据相似三角形的对应边成比例，可得，然后再根据两个三角形等高，面积比等于底之比，得出，然后设点D的横坐标为a，即可得出点、的坐标，进而得出的长，根据点的坐标和点、的横坐标相同，得出点的坐标，进而得出的长，然后即可得出，最后根据二次函数关系式，即可得出当时，的值最大，算出即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A(﹣4，0)，C(0，2)，
∵抛物线经过A，C两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：令y＝0，
∴，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B(1，0)，
如图，过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，
∴，
∴，
∴，
∴．
设点D的横坐标为a，
∴，
∴，
∴，
∵B(1，0)，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与图形面积最值问题、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解本题的关键．
八、（本题14分）
23. 【感知】
如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）．
【探究】
（1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：；
【应用】
如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点．
（2）当时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）见解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】[探究]（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解；
[应用]（2）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；
（3）分两种情况，、，分别求解即可．
【详解】[探究]（1）证明：是的外角，
，即．
，
．
又，
．
[应用]解：（2）设，则．
，
．
，
，
，
，即，
化简可得，
解得或，
即或．
（3）由（2）可得，，
，
则为等腰三角形，有两种情况，或．
当时，
由（2）可得，，
，
，
．
当时，，
则，
，
．
设，则，
，
则．
由可得，，即，
解得，
．
综上，或．