安徽省滁州市全椒县上学期九年级期末考试数学试卷 （解析版）-A4

这是一份安徽省滁州市全椒县上学期九年级期末考试数学试卷 （解析版）-A4，共22页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（ ）
A. 1B. 5C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．据此求解即可．
【详解】解：∵的半径为10，直线l与相切于点P，
∴．
故选D．
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据抛物线顶点式（，a，h，k）的对称轴性质来即可求解．
【详解】解：在抛物线中，，，
∴对称轴直线．
故选：A．
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 直径是最长的弦B. 长度相等的弧是等弧
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 同圆中，所有的半径都相等
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意；
B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意；
D、同圆中，所有半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
4. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5 m，则y与x的函数关系式为( )
A. y＝B. y＝
C. y＝D. y＝
【答案】A
【解析】
【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
【详解】由题意，设y＝，
由于点(0.5,200)适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y＝.
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y＝.
故选A.
【点睛】本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5. 如图，在中，，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
设，根据正切定义得出，再根据勾股定理即可得出的值，进而可得出的值．
【详解】解：设，
，
，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），即，
，
故选：C．
6. 如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
是劣弧的中点，即，
，
，
，
，
，
即；
故选：C
7. 如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
先证明，得到，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：矩形所截，
∴，
∵
∴
∴，
又∵被截成三等份，
∴
∴，，
∵，
∴，，
则．
故选：D．
8. 如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解．
【详解】解：在中，，米，
∴（米），
∴地毯的长度为米．
故选：B．
9. 如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故选：D．
10. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．分当时和当时两种情况求出函数解析式即可求解．
【详解】解：①当时，点Q在上，
∴，，
过点Q作交于点D，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，点Q在上，，
综上所述，正确的图象是A．
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】解：连接，
与圆O相切于点M，
；
，
；
，
，
，
；
，
；
故答案为：．
13. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14. 如图，在中，，，，E是边上定点，且，D，F分别是，边上动点，且满足，垂足为G．则（1）的长为________；（2）的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理；
（1）先根据，，求出，再根据，求出；
（2）取中点，则，根据求最小值即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，，
故答案为：；
（2）取中点，连接，

∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴当三点共线时，的最小值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值进行计算即可；
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，正确计算是解题的关键．
16. 如图，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．先证明，再证明，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出绕点O逆时针旋转的．
（2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了旋转和中心对称作图，分别找到对应点即可．
（1）分别将点绕点O逆时针旋转即可完成作图；
（2）分别找到点关于原点O的对称点即可完成作图．关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求
【小问2详解】
解：如图所示：即为所求
18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点A与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．．
（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m值，进而利用待定系数法求解即可；
（2）先联立两函数解析式，求出点A的坐标，再根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解．
【小问1详解】
解：，在一次函数的图象上，
∴
，
，
在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：联立，
解得：或
∴
观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，
∴不等式的解集是或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分），
19. 唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径．
【答案】该桨轮船轮子的直径为
【解析】
【分析】过点作，连接，利用垂径定理得到是直角三角形，，最后利用勾股定理即可解答．本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：过点作，连接，
∴，，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，，
∴设，
∴在中，，
∴，
解得：，
即，
∴该桨轮船轮子的直径为．
20. 已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．

（1）求证：．
（2）当点为的中点时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以；
（2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，作交的延长线于，

，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
六、（本题满分12分）
21. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为，，且，，，的延长线交于点G．请根据他们测量的数据求塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】塔高的长约为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可设 ，则，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
在中，，
，
，
设 ，
，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
答：塔高的长约为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在正方形中，的中点分别为E，F，连接交于点G，连接平分交于H．

（1）探索与的关系；
（2）求证：点H为中点；
（3）求的值．
【答案】（1），．理由见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明得到，，进而可得；
（2）连接，证明得到，进而证得，再证明D、G、F、C四点共圆，理由圆周角定理得到，进而得到，根据等腰三角形的判定与性质可证得结论；
（3）设正方形的边长为，则，，先由勾股定理求得，再证明得到，进而求得，则，进而可求解．
【小问1详解】
解：，．理由为：
在正方形中，∵，，E、F分别为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，，
∵F为中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵由（1）已证，
∴，
∴，
∴D、G、F、C四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴H为中点；
【小问3详解】
解：设正方形的边长为，则由（1）和（2）可得：，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在与中，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质等性质，解题关键是熟练掌握以上性质，属于中考题型．
八、（本题满分14分）
23. 已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断抛物线的顶点在不在直线上；
（3）点P是抛物线上的任意一点，平移直线使它经过点P，平移后的直线与y轴交点的纵坐标为k，求k的最大值．
【答案】（1），，
（2）顶点在直线上
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入可求出b，求出点C的坐标，再把点A和点C的坐标代入可求出a，c的值；
（2）先求出二次函数的顶点坐标，把代入验证即可；
（3）平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为，
则，求出，得出，利用二次函数的性质即可求解．
小问1详解】
解：∵直线经过点，
∴，
解得，即点，
∵C是的中点，
∴点，
∵二次函数的图象经过点A，C，
∴
解得，，
∴，，；
【小问2详解】
解；
即抛物线的顶点为，
把代入，
得，
∴顶点在直线上；
【小问3详解】
解：由题意得，平移后的直线的解析式为，设点P的坐标为，
则，即，
∵点P在抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴当时，k取最大值，最大值为．