安徽省巢湖市九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省巢湖市九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可．
【详解】解：A、是是二次函数，符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是一次函数，不符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选：A．
2. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）．
A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．∵k＝6＞0，
∴图象位于第一，第三象限，
故A正确，不符合题意；
B．∵−2×（−3）＝6＝k，
∴图象必经过点，
故B正确，不符合题意；
C．∵x≠0，
∴y≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D．∵k＝6＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
3. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是，
故选：．
5. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ）
A. B. ．C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示，
∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下，
共有中等可能结果，其中恰好选中《周髀算经》的结果有种，
∴恰好选中《周髀算经》的概率为，
故选：A ．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. -1B. 1C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式与根的关系得出，即，然后代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴．
故选B．
7. 如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出．
【详解】解：∵，是的两条切线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8. 如图，在中，，为边上三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，先利用得到，则根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，则根据相似三角形的性质即可计算出， 然后利用线段的和差解题．
【详解】解：∵，为边上的三等分点，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴.
故选： A．
9. 已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
10. 如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质得，再运用勾股定理列式计算，然后结合旋转性质，证明，整理得，结合，得出，即可作答．
【详解】解：四边形是正方形，点的坐标为，
．
，
．
在中，．
如图，由题意可知旋转后点的对应点在直线上，过点作轴于点，
则，
，
，
．
设为，
则，
在Rt中，，
即，
解得（负值舍去），
，
点的坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，已知，，如果，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长．
【详解】解：，
，
，
又，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____．
【答案】30°
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出，再由角平分线的性质可得到结果；
【详解】∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤．
13. 在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数应用，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得．
【详解】解：∵力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：）成反比例函数关系，
∴设其函数关系式为，
将点代入得：，
∴这个反比例函数的解析式为，
把代入得：，
即当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是．
故答案为：12．
14. 我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，．
（1）的长为______．
（2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为______．
【答案】 ①. 9 ②. 12
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
（1）根据“对补四边形”定义可知，进而证明，利用其性质即可求解；
（2）根据相似三角形面积比与相似比的关系求的面积，再根据“对补四边形”的面积为即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是“对补四边形”，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
故答案为：9；
（2）∵，且相似比为，
∴，
则，
∴“对补四边形”的面积为，
故答案为：12．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
因式分解，得，
解得或，
，．
16. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由顶点设二次函数的解析式为，再把代入计算即可．
【详解】解：设该二次函数的解析式为．
该二次函数的图象经过点，
，
，
该二次函数的解析式为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，．
（1）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标．
（2）以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标．
【答案】（1）如图所示，；
（2）如图所示，．
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
（1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
（2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
【小问1详解】
解：如图，即为所求，，
【小问2详解】
解：如图，即为所求，．
18. 如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高．
【答案】楼高为12.8米．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：，，
．
，
，
，
，
，
解得，
楼高为12.8米．
五、（本大题共2小题．每小题10分，满分20分）
19. 2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．
（1）若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
（2）若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？
【答案】（1）
（2）这个游戏不公平
【解析】
【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论．
【小问1详解】
解：共10名志愿者，女生4人，
选到女生的概率是：；
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意画图如下：
共有12种情况，和为偶数的情况有4种，
牌面数字之和为偶数的概率是，
甲参加的概率是，乙参加的概率是，
这个游戏不公平．
20. 如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
（1）求的值．
（2）在第一象限内，根据图象直接写出不等式解集
（3）若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标．
【答案】（1）6； （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可；
（2）结合图像，即可获得答案；
（3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：将点代入直线，
可得，
∴，
将点代入双曲线，
∵可得，解得；
【小问2详解】
解：∵直线与双曲线交于点，
结合图像可知，不等式的解集为；
【小问3详解】
解：对于直线，
令，可有，解得，
∴，
将点代入直线，
可得，解得，
∴该直线解析式为，
令，可得，解得，
∴，
∴．
∵的面积为14，，
∴，解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接．
（1）求的长．
（2）连接交于点，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）分别求出，，，．证明，可求出，
（2）连接，求解，证明，利用相似三角形的性质可得结论；
【小问1详解】
解：∵与相切于点，
∴，
，，
，
，
∵，
，
．
为的直径，
．
，
，
，即，
．
【小问2详解】
解：如图，连接．
为的直径，
．
，，
，
，
．
，，
，
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在菱形中，，．P是边上的一动点，连接，将绕点P逆时针旋转得到．
（1）如图1，当点落在射线上时，求的长．
（2）如图2，连接．
①当点B，到的距离相等时，求的长；
②如图3，当点落在射线上时，求的长．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到，，利用旋转的性质得到，，再结合直角三角形性质和勾股定理求解，即可解题；
（2）①作于点，于点，证明，得到，结合旋转的性质，等腰三角形性质得到，再由由（1）同理可得，，，即可解题；
②作于点，结合旋转的性质和菱形的性质证明，进而得到，再结合等腰三角形性质得到，最后结合解直角三角形求解，即可解题．
【小问1详解】
解：菱形中，，，
，，
由旋转的性质可知，，，
点落在射线上，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
解：①作于点，于点，
，
点B，到的距离相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）同理可得，，，
，
；
②作于点，
，，
，
为菱形的对角线，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及的值．
（2）过点作轴，垂足为，点在直线下方的抛物线上运动，过点作，，垂足在线段上．
①求面积的最小值；
②求的最大值．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有一点在第三象限内，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标．
【答案】（1），
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）将点和点代入中运算求解即可；
（2）①由分析出的位置，求出的长后利用面积公式求解即可；
②过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，利用含的式子表达出和的长度进行求解即可；
（3）分析出原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式，设直线交轴于点，过点作延长线于点，求出直线的表达式，再联立两个函数式子运算求解即可．
【小问1详解】
将点和点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为
将代入中，得；
【小问2详解】
①解：∵，为定值，
∴当最小时，的面积最小，此时点与点重合，
∵，，
∴点的纵坐标为
将代入中，得，
解得，，
∴，
∴；
②解：如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为：，代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
又∵，
∴，，
∴，
∴
∵轴，
∴轴
∴，
∴，则，
∴，
设点，则点，
∴．
∵，
∴当时，有最大值，
把代入可得：
∴的最大值为；
【小问3详解】
原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图2，则新抛物线的表达式为①，
设直线交轴于点，过点作延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，即，则，
∴，则，
∴点，
设直线的解析式为，代入，可得：，
解得：，
∴直线的表达式为②，
联立①②得，
解得（不合题意的值已舍去）．
【点睛】本题为二次函数与几何综合，其中涉及到了二次函数的图象性质，一次函数与二次函数交点特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定及性质，平移变换，三角函数解直角三角形等知识点，利用数形结合思想以及合理作出辅助线是解题的关键．