安徽省六安市金寨县上学期期末质量监测九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市金寨县上学期期末质量监测九年级数学试卷（解析版）-A4，共22页。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知，则下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，，
只有C符合题意，
故选：C．
2. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是．
故选：C．
3. 若为锐角，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值．
【详解】解：∵为锐角，且，
∴，
∴由特殊角的三角函数值可知，，
故选：B．
4. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
5. 如图，坡角为的斜坡上俩电线杆间的坡面距离AB为80米，则这两根电线杆间的水平距离BC是( )米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【详解】由题意得，∠ABC=27°，
在Rt△ABC中，，
∴BC=AB•cs∠ABC=80cs27°（米），
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图：，下列哪个补充条件不能使（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，故A不符合要求；
∵，
∴，即，
又∵，
∴，故B不符合要求；
，，不能使，故C符合要求；
∵，，
∴，故D不符合要求；
故选：C．
7. 已知的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据二次函数的图象，判断出的符号，再判断一次函数图象所经过的象限即可．
【详解】解：抛物线的开口向下
，
抛物线的对称轴在轴右侧，即，
，
图象经过第二、三、四象限．
故选C．
8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，先证明为直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，
，，
，
∴，即为直角三角形，
，
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】作轴，根据k的几何意义得出，进而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，然后根据中点定义得，进而求出答案．
【详解】如图，过点A作轴，于点E，连接．
可知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点C是的中点，
∴，
即，
解得．
故选：D．
【点睛】这是一道反比例函数与几何图形的综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义，求三角形的面积等．过某一点作坐标轴的垂线构造直角三角形是解决此类问题的常用方法．
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A. 点B坐标为(5，4)B. AB＝ADC. a＝D. OC•OD＝16
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【详解】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 在中，，如果，，那么___________．
【答案】##4.5##
【解析】
【分析】根据锐角三角函数定义得出，代入求出即可．
【详解】如图：
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12. 已知点是线段一个黄金分割点，且，，那么______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：
13. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论．
【详解】解：作轴于M，轴于N，
∵点A在图象上，连接交图象于点B，
∴，，
∵，
∴,
∴，
∴，
故答案为：
14. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．
（1）线段的长为________；
（2）________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，先根据矩形性质及勾股定理求出，再求出，可知，然后根据面积相等得出答案；
（2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再说明，可得，进而得出，然后证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵四边形为矩形，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得．
在矩形中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）如图，延长交于点．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 如图，在中，，，，为边上的高，求边的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识；由直角三角形的性质得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出的长即可；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图像，直线写出时x的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键．
（1）先根据两函数图像的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；
（2）直接根据函数图像即可解答．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
∴，，
∴，
∴A点坐标为，点B点坐标为，
∴，
∴反比例函数；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，
∴由图像可得，当时x的取值范围．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
（2）以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ．
（3）的面积是 ．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换、位似变换、三角形的面积．
（1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案；
（2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图所示，向下平移4个单位长度得到的，

∴是所求作三角形，
∴由图可知，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵与位似，且相似比为，
∴延长，，使得，，如图所示，
，
∴是所求作三角形，
∴由图可知，
故答案为：；
【小问3详解】
解：的面积，
故答案为：10．
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键．
（1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵交的延长线于点E， 于点F，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
20. 随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】点C与点D的距离约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，求出的长，在中求出的长，利用求出的长即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
详解】解：由题意，得：，，
在中：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：点C与点D的距离约为．
六．解答题（本题满分12分）
21. 如图，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，求的取值范围；
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）
（3）点坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，
（1）由点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及、点坐标即可得出结论；
（3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：把、分别代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
，
顶点坐标为．
【小问2详解】
解：由图可得当时，．
【小问3详解】
解：、，
．
设，则，
，
．
①当时，，解得：，，
此时点坐标为或；
②当时，，方程无解；
综上所述，点坐标为或．
七．解答题（本题满分12分）
22. 如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边延长线上，且满足，连接与边交于点E．
（1）求证：；
（2）如果，求证：；
（3）交点O，若，则 （直接写答案、用含k的代数式表示）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．
（1）由正方形的性质可得，由“”可证，可得；
（2）由题意可得，即可证，即可证；
（3）过点作交于点，设，由，，，再根据可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
，
∴，
∵，
；
【小问3详解】
解：如图，过点作交于点，
设，
，
，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
八．解答题（本题满分14分）
23. 已知二次函数．
（1）若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
（3）已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
【答案】（1）
（2）2或8 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解；
（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；
（3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，的值为2或8；
【小问3详解】
证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以 ．