安徽省芜湖市九年级上学期1月期末数学试卷 （解析版）-A4

这是一份安徽省芜湖市九年级上学期1月期末数学试卷 （解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了考试结束后，请将“答题卷”交回，故②正确；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. “垃圾分类，利国利民”，以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 可回收物B. 有害垃圾C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键．
2. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即，
解得：，
故选：D．
3. 如图，五边形五边形．若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键．根据相似图形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵五边形五边形，，
∴，，
∴，
∴本题选项A，B，D错误，不合题意．
故选：C．
4. 已知二次函数的图像经过点，，则关于的方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图像经过点，，直接得出方程的根．解题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，，
∴关于的方程的根是，．
故选：A．
5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形性质以及圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补，得出，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故选：C．
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法、树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为
故选：B．
7. 在下列函数图像上任取不同的两点和，一定能使成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
先判断各函数的增减性，然后进行判断即可．
【详解】解： A、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故A选项不符合题意；
B、，∴y随x的增大而增大，即当时，必有，，故B选项不符合题意；
C、，∴当时，y随x的增大而增大，即当时，必有，，故C选项不符合题意；
D、∵，∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，∴时，必有，，故D选项符合题意．
故选：D．
8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：B．
9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．先求出二次函数图象与x轴的交点，一次函数图象与x轴的交点，得出一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，然后进行判断得出即可．
【详解】解：令，
解得：，，
∴二次函数与x轴的交点坐标为或，
令，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
∴一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，
四个选项中，只有C选项中符合一次函数图象与二次函数图象有一个交点在x轴上，
∴二次函数与一次函数的图像可能C选项中的图象．
故选：C．
10. 如图，的直径长为，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 阴影部分的面积是D. 的长是
【答案】C
【解析】
【分析】过点作垂足为点，可以判断，，可得；根据勾股定理可以求出，所以；根据扇形的面积公式可以求出阴影部分的面积是；根据扇形的弧长公式可以求出的长是．
【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，
垂直平分圆内的线段，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故A选项错误；
，，，
，
，
故B选项错误；
，，
，
故C选项正确；
，，
的长是，
故D选项错误．
故应选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、弧长公式、扇形面积公式、三角形的外角及等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的根据．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点,
故答案为：．
12. 如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为__________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．据此列式解答即可．也考查了扇形的面积公式：（为弧长）．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，圆锥的母线，
∴圆锥的底面圆的周长：，
∴圆锥的侧面积为：．
故答案为：．
13. 如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的概率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是_____．（填编号）
【答案】②
【解析】
【分析】根据图形和各个小题说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；
随着实验次数增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．
故答案为②．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
14. 已知，半径为1的与相切于点．
（1）如图1，点到射线的距离是__________；
（2）如图2，将沿着射线向右方滚动，当与射线相切时，设与射线相切于点，则线段的长为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握性质和特殊角的函数值是解题的关键．
（1）根据切线的性质，特殊角的函数值计算即可．
（2）如图2，连接，延长交于点B，设与射线相切于点N，连接，根据切线的性质，三角函数计算即可．
【详解】（1）连接，过点O作于点D，
∵，半径为1的与相切于点．
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图2，连接，延长交于点B，
设与射线相切于点N，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，然后解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得．
16. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点和点．
（1）求点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）结合图像，请直接写出当时，不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数解析式，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
（1）先将点代入正比例函数中求得，再将点代入反比例函数中求得，联立两解析式求得，即可求解；
（2）分析题意可得要求当时且反比例函数的值大于等于正比例函数的值时x的取值范围，结合图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为；
联立得：，
解得：或，
∴，
小问2详解】
解： ∵，即反比例函数的值大于等于正比例函数的值，当时，
∴结合函数图象可知，此时．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出；
（3）观察和，它们关于__________成__________对称．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）直线（或一、三象限角平分线等），轴
【解析】
【分析】本题考查作图—轴对称、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）根据图形成轴对称即可解答．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求：
；
【小问3详解】
解：观察和，它们关于直线（或一、三象限角平分线）成轴对称，
故答案为：直线（或一、三象限角平分线等），轴．
18. 如图，某同学自制了一副正六边形跳棋盘，并在点处摆放了、两枚跳棋，两枚棋子均沿正六边形顶点逆时针跳跃，每次跳跃一条边的长度．现投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次得到的点数为点跳动的次数，第二次得到的点数为点跳动的次数．例如第一次投掷得到点数为3，则跳跃至处，第二次投掷得到点数为4，则跳跃至处．
（1）求两枚跳棋跳到同一个顶点的概率；
（2）求三角形为直角三角形的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率和正六多边形的性质，掌握列表法是解题的关键．
根据题意列出所有的可能性，再根据要求求出概率即可．
【小问1详解】
根据题意列表如下：
由表可知，、跳到同一个顶点的情况有种，故；
【小问2详解】
由表可知，当、和组成的三角形为、、、、、时，是直角三角形，此情况共种，故．
五、（本大题共2小题．每小题10分，满分20分）
19. 某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的路线是一条抛物线，铅球在离地面0.5米高的A处推出，推出后达到最高点B时的高度是2.5米，水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地.
（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；
（2）这个同学推出的铅球有多远？
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由待定系数法求出 的值即可.
（2）将 代入（1）中所求得的解析式，求出 的值即可.
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
将 代入，可得 ，
解得 ，
则抛物线的解析式为.
（2）当时，，
解得（舍去）.
故这个同学推出的铅球有 m远.
20. 如图，为的直径，，与相交于点，垂足为，延长交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）过点作垂足为，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定，解答即可；
（2）根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
．
，
，
是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
， ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离．
该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下：
任务：根据实验数据：__________，__________．
任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题：
这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由；
若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围．
任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立）
【答案】任务一：， 任务二：是，解析式是 任务三：不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答；
任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式；
分别求出当时和时的值，即可解答；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论．
【详解】解：任务：，
，
，
，
故答案为：，；
任务：
这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即；
当时，，当时，，
可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，
根据杠杆平衡原理，有：，，
解得：，，
则，
因为，所以，
所以该成员两次称得的食盐总质量超过了，
（利用作差法：当时，进行判断也可给分）．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，过点作直线，是边上一点，作交直线于点，为线段延长线上一点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）由等腰三角形性质得，又直线，根据平行线的性质可得，从而得出即可求证；
（）以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则，则，通过角度和差可得，然后证明即可；
（）过点作于，根据等腰三角形的性质可得，又，则，，根据勾股定理可得，解出，则有，，最后由面积即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴平分；
小问2详解】
证明：如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称．
（1）当，时，求和的值；
（2）若抛物线与抛物线分别交轴于和，求抛物线解析式（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当且时，设抛物线的最大值为，抛物线的最小值为，令，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线形状不变，即，而对称轴关于y轴对称，即可求解；
（2）由对称性得：抛物线过、，代入求解即可；
（3）的解析式为：，可知当时，取得最大值，，同理，则，利用二次函数求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意知：抛物线与抛物线关于轴对称，
则，对称轴也关于y轴对称，
∴
∴
∴；
【小问2详解】
解：由对称性得：抛物线过、，代入得：
，解得：，
故的解析式为：；
【小问3详解】
解：由（1）（2）知：的解析式为：，开口向下且对称轴为直线，
因为，
所以当时，取得最大值，
则代入得，，
同理，的解析式为：，开口向下且对称轴为直线，当时，取得最小值，
即，
则，
∵该函数对称轴为直线且开口向下，
当时，
∴故当时，．
（）
（P）
左托盘砝码质量/
右托盘砝码质量/
...
...