数学八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线课时作业

这是一份数学八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线课时作业，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.三角形中到三边距离相等的点是( )
A. 三条边的中垂线交点B. 三条高交点
C. 三条中线交点D. 三条角平分线的交点
2.已知；如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点G，D.若△AGC的周长为31 cm，AB=20 cm，则△ABC的周长为( )
A. 31 cmB. 41 cmC. 51 cmD. 61 cm
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC=5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为( )
A. 14B. 16C. 18D. 19
5.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 17.5cm
6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB =7，则AC的长是( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
7.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB:S△OBC:S△OAC= ( )
A. 1:1:1B. 1:2:3C. 2:3:4D. 3:4:5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
8.到线段两端距离相等的点在线段的 上.
9.如图，在▵ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且▵ABD的面积为2，则▵ABC的面积为 ．
10.如图，在▵ABC中，∠C=90∘，AC=8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 ．
11.如图，AD⊥BE，垂足为D，BD=DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB=6cm，BD=3cm，则DC的长为 cm．
12.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比为 ．
13.如图，点D在▵ABC的边BC上，如果DB=DA，那么点D在线段 的垂直平分线上；如果BC=BD+AD，那么点D在线段 的垂直平分线上．
14.在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=10cm，△DBC的面积 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在大河CD的同侧有A，B两个村庄，请在大河CD的边上找到自来水厂P的位置，满足下列条件：
(1)水厂P到A，B两个村庄的距离相等;
(2)水厂P到A，B两个村庄的距离和最短．
16.(本小题8分)
作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．(写出作法，保留作图痕迹)
17.(本小题8分)
如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC长．
18.(本小题8分)
如图．△ABC中，∠B=∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC，QB=RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．
求证：点O在BC的垂直平分线上．
20.(本小题8分)
如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质；要对选项逐个验证．题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质即可判断选项D是可选的．
【解答】
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：
三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm，
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到GA=GB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=12AB·DE+12AC·DF=12×4×2+12AC×2=7，
解得：AC=3．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2EC=10，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2EC=10，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC=26，
∴AB+BC=16，
∴△BDC的周长为：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=16．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据DE是AB的垂直平分线，得AD=BD，所以CD+BD=CD+AD=AC，再由三角形周长公式即可求得答案．
【解答】
解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD．
∵AC=20cm，
∴AD+CD=20cm，
∴BD+CD=20cm．
∵△DBC的周长为35cm，
∴BD+CD+BC=35cm，
∴BC=15cm．
故选C．
6.【答案】D
【解析】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴12AB·DE+12AC·DF=S△ABC
∴12×4×7+12×4·AC=24，
∴AC=5，
故选D．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出DF=DE=4，再利用三角形ABC的面积等于24，解答即可．
7.【答案】C
【解析】解：∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长分别12，18，24，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC=AB：OB：AC=12：18：24=2：3：4．
故选：C．
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
8.【答案】垂直平分线
9.【答案】3
【解析】提示：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.因为AD平分∠BAC，所以DF=DE.因为S▵ABD=12AB⋅DE=2，即12×4DE=2，解得DE=1.所以DF=DE=1，所以S▵ACD=12AC⋅DF=1，所以S▵ABC=S▵ABD+S▵ACD=3．
10.【答案】2
11.【答案】9
12.【答案】4:3
13.【答案】AB
AC
14.【答案】15cm2
【解析】解：过点D作DE⊥BC于E，
由角平分线的性质可得，DE=AD=3cm，
∵BC=10cm，
∴S△DBC =12BC×DE=12×10×3=15cm2，
故答案为：15cm2．
过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出△DBC边BC上的高是解题的关键．
15.【答案】【小题1】
解：如图所示；
【小题2】
解：如图所示，点P为所求。

【解析】1. 提示：作AB的垂直平分线交CD于点P．
2. 作点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P．
16.【答案】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；
⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．

【解析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．
本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握．
17.【答案】解：
过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=7，
∴S△ADB+S△ADC=7，
∴12×AB×DE+12×AC×DF=7，
∴12×4×2+12×AC×2=7，
解得：AC=3．
【解析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF=DE=2，根据S△ADB+S△ADC=7和三角形面积公式求出即可．
本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
18.【答案】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
PB=QC∠B=∠CQB=RC，
∴△BQP≌△CRQ，
∴QP=QR，
∴点Q在PR的垂直平分线上．
【解析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP=QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．
本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
19.【答案】证明 如图，连接OA，OB，OC．
∵点O在AB的垂直平分线l1上，
∴OA=OB(线段垂直平分线的性质定理)．
同理，OA=OC．
∴OB=OC．
∴点O在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理)．
20.【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F．
∵AF⊥BC，
∴∠AFD=∠AFE=90°
在Rt△ADF和Rt△AEF中
AD=AEAF=AF
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=FC，
∵AF⊥BC，
∴AB=AC．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．过点A作AF⊥BC于点F.证明Rt△ADF≌Rt△AEF，再证明AF垂直平分线段BC即可解决问题．