苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线授课ppt课件

这是一份苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线授课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，新知探究，角平分线的性质定理，典例分析，题型探究，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
理解并证明角平分线分线段成比例定理
探索并证明角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P ( 异于点O )，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D。PC与PD一定相等吗？
解：PC与PD一定相等，理由如下：在△DOP和△COP中，由∠PDO = ∠PCO = 90°，∠DOP = ∠COP ，OP = OP，通过“AAS”，可以证明△DOP≌△ COP，∴PC = PD。
于是，我们得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：① 这里的距离指的是点到角两边的垂线段的长； ② 使用该结论需满足：图中有角平分线，有垂直。符号语言：如图，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC = PD。
如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB：AC = BD：DC。
证明：如图，过D作DE⊥AB交于E，过D作DF⊥AC交于F，过A作AG⊥BC交于G，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE = DF，
角平分线分线段成比例定理：
如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴AB：AC = BD：DC。
如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？
如图，点Q在∠AOB 内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C、D，QC = QD。
解：作射线OQ，在△OCQ和△ODQ中，∠QCO = ∠QDO = 90°，OQ = OQ，QC = QD，通过“HL”，可以证明Rt△OCQ≌△ Rt△ODQ，∴∠AOQ = ∠BOQ ，∴点Q在∠AOB的平分线上。
角平分线性质定理的逆定理：
于是，我们得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线是到角两边距离相等的点的集合。
注意：① 前提条件：角的内部； ② 使用该结论需满足：图中有垂直，有相等线段。符号语言：如图，∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC = PD，∴点P在∠AOB的平分线上。
例2 如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P。求证：点P在∠C的平分线上。
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N。∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC，∴PF = PN ( 角平分线的性质定理 )。同理，PF = PM。∴PM = PN。∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴点P在∠C的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。
三角形的角平分线的性质：
三角形的三条角平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P。连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
解：OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图，连接OP，并延长OP，过P作PG⊥OA交于G，过P作PH⊥OB交于H，由题意可知：PG = PH，∴点P在∠AOB的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。即OP是∠AOB的平分线。
例1-1 点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）A．PQ < 7 B．PQ > 7 C．PQ ≥ 7 D．PQ ≤ 7
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7，∴点P到OB边的距离等于7，由“垂线段最短”可知：PQ ≥ 7。
例1-2 如图，AB // CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD = 12，则点P到BC的距离是________。
例1-3 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC = 30，DE = 4，BC = 10，则AC的长是________。
例2 如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。( 1 ) 求证：CE = CB；
( 1 ) 证明：∵AD = DC，∴∠DAC = ∠DCA，∵AB // DC，∴∠DCA = ∠CAB，∴∠DAC = ∠CAB，即AC是∠EAB的平分线，∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴CE = CB；
例2 如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。( 1 ) 求证：CE = CB；( 2 ) 连接BE，求证：AC垂直平分BE。
∴AE = AB，∴点A在线段BE的垂直平分线上，∵CE = CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE。
例3 如图，已知△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D。证明：AD是∠BAC的平分线。
证明：如图，过D作DE⊥AB交于E，过D作DF⊥AC交于F，过D作DG⊥BC交于G，∵△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，∴DE = DG，DF = DG，∴DE = DF，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线。
例4 在三角形内部，有一点P到三角形三边的距离相等，则点P一定是（　　）A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。三角形的角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等。