初中数学第1章 三角形1.4 线段垂直平分线与角平分线教课ppt课件

这是一份初中数学第1章 三角形1.4 线段垂直平分线与角平分线教课ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了情境引入，知识梳理，反思感悟等内容，欢迎下载使用。
1.探索并证明角平分线的性质定理和逆定理.(重点、难点)2.能灵活运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题.(重点、难点)
在一张薄纸上画∠AOB.折叠纸片使角的两边重合.在折痕上任取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD(如图).沿原折痕折叠，你有什么发现？
一、角平分线的性质定理
问题1　如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C，D.PC与PD一定相等吗？如何证明？
提示　在△DOP和△COP中，由∠PDO=∠PCO=90°，∠DOP=∠COP，OP=OP，通过“AAS”，可以证明△DOP≌△COP，所以PC与PD相等.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 .符号语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角平分线的性质定理).
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB.求证：BE=FD.
如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N，求证：PM=PN.
证明　∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∴DP是∠ADC的平分线.∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN.
二、角平分线性质定理的逆定理
问题2　如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？如何证明？
提示　如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C，D，且QC=QD.画射线OQ，在△OCQ和△ODQ中，∠QCO=∠QDO=90°，
OQ=OQ，QC=QD，通过“HL”，可以证明Rt△OCQ≌Rt△ODQ，所以∠AOQ=∠BOQ，所以点Q在∠AOB的平分线上.
问题3　如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF.CD与EF相交于点P，连接OP.OP是∠AOB的平分线吗？为什么？
提示　OP是∠AOB的平分线.理由如下：如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N.∵尺的宽度相等，∴PM=PN，∴点P在∠AOB的平分线上(角平分线性质定理的逆定理).∴OP是∠AOB的平分线.
角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上.角平分线是到角两边距离相等的点的集合.符号语言：∵QD=QC，QD⊥OB，QC⊥OA，∴点Q在∠AOB的平分线上(角平分线性质定理的逆定理).
(课本P38例2)如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上.
证明　如图，过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N.∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC，∴PF=PN(角平分线的性质定理).同理，PF=PM，∴PM=PN.∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴点P在∠C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理).
三角形的三条角平分线交于一点.
如图，判断△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线的交点O是否在∠A的平分线上，并证明你的结论.
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
1.如图，OD是∠AOB的平分线，点P在OD上，点P到OA的距离PE为5.点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为A.PN5C.PN≥5D.PN≤5
2.如图所示是一块△ABC的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三边的中垂线的交点
解析　∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　　. 
4.如图，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，若BD=DC，∠BAC=120°，则∠BAD的度数是　 　. 
5.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF.求证：点D为BC的中点.