初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线教案配套ppt课件

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）1.4 线段垂直平分线与角平分线教案配套ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，课题导入，新知探究，典例分析，题型探究，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
理解三角形的垂直平分线的性质
全等三角形是研究图形性质的重要工具。在“图形的变换”一章中，我们曾通过折纸发现线段和角都是轴对称图形，其对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线所在直线。本节，我们利用全等三角形研究它们的性质。
如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？如何证明？
解：① 当点P与点O重合时，显然PA = PB；② 当P与点O不重合时，∵OP是线段AB的垂直平分线，∴AO = BO，∠POA = ∠POB = 90°。通过“SAS”，可证△POA≌△POB，∴PA = PB。
线段垂直平分线的性质定理：
于是，我们得到线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
符号语言：如图， ∵直线OP垂直平分线段AB， ∴PA = PB。
如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？
解：① 如图，当点Q在线段AB上时，如果QA = QB，那么Q是线段AB的中点，∴线段AB的垂直平分线一定经过点Q。
解：② 如图，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA = ∠QMB = 90°。如果QA = QB，那么通过“HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM，∴AM = BM，即M是线段AB的中点，∴QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上。
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
于是，我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
符号语言：如图， ∵PA = PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上。
如图，AB = AD，CB = CD，AC，BD相交于点E。你能在图中找到哪些相等的角？证明你的结论。
解：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE；② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE；③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。
我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。
证明：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE；
证明：② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE；
证明：③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。
证明：∵△ABE≌△ADE，∴ ∠AEB = ∠AED，又 ∠AEB + ∠AED = 180°，∴ ∠AEB = ∠AED = 90°，同理：∠CEB = ∠CED = 90°。
例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。求证：点O在BC的垂直平分线上。
证明：如图，OA、OB、OC。∵点O在AB的垂直平分线l1上，∴OA = OB ( 线段垂直平分线的性质定理 )。同理，OA = OC。∴OB = OC。∴点O在BC的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线性质定理的逆定理 )。
三角形的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。
例1-1 如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）A．50°B．60°C．70°D．80°
解：∵在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°，∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 100°，∵MN是AC边的垂直平分线，∴DA = DC，∴∠DAC =∠C = 30°，∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 100° - 30° = 70°。
例1-2 已知：如图，AB = AE，BC = ED，AF垂直平分CD，∠B = 110°，求∠E的度数。
例2 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB = 4，BC = 9，则△AEF的周长为（　　）A．4 B．5 C．9 D．13
解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC，∴AE = BE，AF = CF，∴C△AEF = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 9。
例3 如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点D恰好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE = AB，求证：点D在线段CE的垂直平分线上。
∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA = DC，∴DC = DE，∴点D在线段CE的垂直平分线上。
例4 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（　　）A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点
线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。三角形的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。