人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形巩固练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题是假命题的是( )
A. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B. 等边三角形有3条对称轴
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
2.等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 30cmB. 33cmC. 24cm或21cmD. 30cm或33cm
3.在△ABC中，已知∠B=∠C，则( )
A. AB=BCB. AB=ACC. BC=ACD. ∠A=60°
4.在等腰△ABC中，AB = AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A. 7B. 11C. 7或10D. 7或11
5.△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是( )
A. 10mB. 15mC. 5mD. 20m
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为( )
A. 1.5B. 2C. 3D. 4
8.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A. 25°B. 60°C. 85°D. 95°
9.如图，在Rt▵ABC中，∠C = 90​∘，∠A = 30∘，AB+BC = 12 cm，则AB等于( )
A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm
10.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B=( )
A. 40°B. 36°C. 80°D. 25°
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若一个等腰三角形的顶角等于40°，则它的底角等于______．
12.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是 ．
13.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=______°.
14.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2，则BC的长为______．
15.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80m，那么点B离水平面的高度BC的长为_________m．
16.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3，则AB的长为 ．
17.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=________．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
19.(本小题8分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC．
(1)试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD(不写作法，但需保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，连接BD，若BD=BC，求∠A的度数．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 3．
(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ADE的周长为a，先化简T=(a+1)2−a(a−1)，再求T的值．
21.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM.求证：AM=2MN．
22.(本小题8分)
如图，李明同学想测量泸州白塔CD的高度，他在A处测得∠CAD=15∘，再往前行进60m到达B处，此时测得∠CBD=30∘，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔CD的高度．

23.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查定义与命题，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定等知识．根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判断即可一一判断．
【解答】
解：A、有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
B、等边三角形有3条对称轴，正确；
C、SSA无法判断两个三角形全等，错误；
D、有一边对应相等的两个等边三角形全等，正确；
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：①当9为腰时，9+9>12，故此三角形的周长=9+9+12=30；
②当12为腰时，9+12>12，故此三角形的周长=9+12+12=33．
故选：D．
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及掌握情况．根据题意画出图，根据等角对等边即可得到相等的边．
解：如图，∵∠B=∠C
∴AB=AC．
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，

得①x+y2=15y+y2=12或②x+y2=12y+y2=15，
解方程组①得：x=11y=8，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得：x=7y=10，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7，
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的判定，用到的知识点是等边三角形的判定、轴对称图形，关键是灵活应用判定方法，对每一项做出判断．
根据等边三角形的判定、轴对称图形的性质分别对每一项进行判断即可．
【解答】
解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，则该三角形为等腰三角形，且有一个角为60°的三角形则是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确．
则正确的有4个．
故选D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查含30°角的直角三角形，关键是应用30°所对的直角边是斜边的一半．
根据题意可以得在直角三角形中，较短的直角边是5m，再根据30°所对的直角边是斜边的一半，得斜边是10m，从而求出大树的高度．
【解答】
解：如图
在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=5m，∠A=30°，
∴AB=2CB=10m，
∴该树的高度为10+5=15(m)．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
∴BD=2BC=2×1=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°−15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．
故选：D．
等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.解答本题的关键是掌握利用含30°角的直角三角形的性质求线段长的思路与方法.首先根据含30°角的直角三角形的性质得出BC与AB的数量关系，再根据已知条件求出AB的长即可．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=12AB，
∵AB+BC=12cm，
∴AB+12AB=12cm，
∴AB=8cm．
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
设∠B=α，
则∠BDA=∠BAD=2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴α×2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=36°．
故选：B．
根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠C=∠DAC，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
11.【答案】70°
【解析】解：∵等腰三角形的顶角等于40°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于(180°−40°)×12=70°．
故答案为：70°．
已知给出了等腰三角形的顶角等于40°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接刻求得答案．
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】17
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：(1)若3为腰长，7为底边长，
由于3+3