数学第12章 全等三角形12.3 等腰三角形精练

这是一份数学第12章 全等三角形12.3 等腰三角形精练，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.等腰三角形一边长为4，一边长9，它的周长是( )
A. 17B. 22C. 17或22D. 不确定
2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是( )
A. 8B. 6C. 4D. 7
3.如图，直线a/​/b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上.若∠1=34°，则∠2等于( )
A. 84°B. 86°C. 94°D. 96°
4.如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点．若BC=6，则BD的长为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
5.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是( )
A. ∠B=∠CB. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACDD. AD⊥BC，BD=CD
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为( )

A. 1.5B. 2C. 3D. 4
7.已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A. 7B. 11C. 7或11D. 7或10
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 2个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
10.已知△ABC是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为______．
11.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时，∠AOB=60∘，如图2，则此时A，B两点间的距离是 cm．
12.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC= ______．
13.如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为______．
14.如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3 cm，则CD=________cm．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE=CF，连接AE，AF.求证：AD平分∠EAF．
16.(本小题8分)
如图，D为△ABC中BC边上一点，AB=CB，AC=AD，∠BAD=21°，求∠C的度数．
17.(本小题8分)
如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．
18.(本小题8分)
如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
19.(本小题8分)
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：△OAB是等腰三角形．
20.(本小题8分)
如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
(1)求证：AF=DE．
(2)若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当腰为9时，周长=9+9+4=22；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为9，这个三角形的周长是22．
故选：B．
题目给出等腰三角形有两条边长为9和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，
【解答】
解：如图，
以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质有关知识，先过C点作CD//a，然后再进行解答即可．
【解答】
解：过点C作CD//a，交AB于D，
∵CD//a，
∴∠1=∠ACD=34°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵a//b，
∴CD//b，
∴∠BCD=∠CBE=26°，
∴∠2=180°−26°−60°=94°．
故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠C=∠A=30°，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC=6，
∴BD=12BC=3，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键.根据等腰三角形的判定逐项判断即可．
【解答】
解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形；
B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形；
C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形；
D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
∴BD=2BC=2×1=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°−15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要验证是否符合三角形的三边关系．故解决本题最好先画出图形再作答．题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形的三边关系验证答案．
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得①x+y2=15y+y2=12或②x+y2=12y+y2=15，
解方程组①得：x=11y=8，根据三角形的三边关系，此时能组成三角形；
解方程组②得：x=7y=10，根据三角形的三边关系，此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
【解答】
解：共有5个．
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，即∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−36°)=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：C．
9.【答案】30∘或150∘
【解析】【分析】本题主要考查的是等边三角形的性质，正方形的性质，运用了分类讨论思想，分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】
解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，∠AED=∠ADE=∠DAE=60∘，
∴∠BAE=∠CDE=150∘，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15∘，
则∠BEC=∠AED−∠AEB−∠CED=30∘．
如图2，∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∵∠CDE=∠ADC−∠ADE=90∘−60∘=30∘，
∴∠CED=∠ECD=12×(180∘−30∘)=75∘，
同理，∠ABE=∠AEB=75∘，
∴∠BEC=360∘−75∘×2−60∘=150∘．
故答案为30∘或150∘．
10.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
由于已知的长为4的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
【解答】
解：当腰长为4时，底长为：18−4×2=10，4+4