北京市东城区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷（学生版）

这是一份北京市东城区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷（学生版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分)
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 在一个只装有白球袋中摸出红球
B. 一个三角形三个内角的和小于180°
C. 若是实数，则
D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
2. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 方程的根为（ ）
A. ，B. ，
C. D. ，
5. 随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（ ）
A. 15B. 9C. 7.5D. 7
7. 中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到，，，则图②所示的拼盘面积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 二次函数(a，b，c是常数，且)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①；
②关于x的方程的正实数根在1和之间；
③点和在该二次函数的图象上，则当实数时，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题(每题2分，共16分)
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________．
10. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为___________．
11. 有7张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是___________．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
13. 如图，四边形内接于，，连接、，则____．
14. 二次函数的部分图象如图所示．图象过点，其对称轴为直线，则由图象可知，不等式的解集为_____．
15. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________．
16. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_________．
三、解答题(本题共68分，第17-21题每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题每小题6分， 第27-28题每小题7分)
17. 解方程：．
18. 已知：，为射线上一点．
求作：，使得点在射线上，且．
作法：①以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，交射线的反向延长线于点；
②以点圆心，长为半径画弧，交于点；
③连接，交射线于点．就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，
∵点B，E，F在上，
∴． （__________________________）（填写推理的依据）．
∵在中，，
∴_________．
∴．
19. 如图，二次函数的图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上， 且，直接写出n的取值范围．
20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到点A、B、C的对应点分别为、、．
（1）请你在图中画出
（2）在(1)的条件下，求点旋转到的过程中所经过的路径长(结果保留)．
21. 中式古典园林中大部分月亮门(如图1)可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．求这个月亮门的最大宽度 (的直径)．
22. 已知：关于关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．
23. 2024年11月，我校开展了“读书节”活动，鼓励学生每月完成一定的阅读量，初三年级共有21个班级，学校统计了这些班级的阅读达标率，具体数据如下：
（1）从这 21 个班级中任意选取 1 个班级．若事件“该班阅读达标率 x 满足”概率为，则 ， ；
（2）某班选出了1名男生和3名女生作为“阅读之星”．老师计划从这四位同学中随机抽取两位在年级大会上分享阅读心得．请用列表法或画树状图法求“恰好同时抽到两位女生”的概率．
24. 如图，是直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若交于点H，连接，，求的长．
25. 阅读以下材料信息并解决问题：
问题解决：
（1）填空：的长度为 ，该抛物线顶点坐标为 ．
（2）求水流所在抛物线的函数解析式．
（3）现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由(圆柱形水杯的厚度忽略不计)．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 (a为常数)的顶点为D．
（1）求点D坐标；
（2）若直线与抛物线的一个交点A的横坐标为4，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①当时，求的长．
②当时，线段的最大长度为8，求t的取值范围．
27. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．
（1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数；
（2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数；
（3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值．
28. 对于和内一点P (P与C不重合)给出如下定义：过点P可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有k条，则称点P为的k属相关点，k为点P关于的相关系数．
在平面直角坐标系中，已知的半径为3．
（1）若点M的坐标为，则经过点M的的所有弦中，最短的弦长为 ，点M关于的相关系数为 ；
（2）若直线上存在4属相关点，求b的取值范围；
（3）点T是x轴正半轴上一点，的半径为2，点R，S分别在与上，点R关于的相关系数记为r，点S关于的相关系数记为s．当点T在x轴正半轴上运动时，若存在点R和S，使得，且．直接写出点T的横坐标t的取值范围．
x
…
0
1
2
…
y

m
2
2
n

阅读达标率x
班数
6
a
b
探索目的
制作简易水流装置
信息1
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
信息2
圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，， ，B为水流所在抛物线的顶点， 点A，B，O，E，M均在同一平面内．