2025-2026学年北京市昌平区九年级上学期期末质量抽测数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市昌平区九年级上学期期末质量抽测数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1.已知，则下列比例式成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
4.已知在中，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（ ）
A.4B.5C.6D.8
6.二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（ ）
A.向左平移3个单位，向上平移5个单位
B.向右平移3个单位，向上平移5个单位
C.向左平移5个单位，向下平移3个单位
D.向右平移5个单位，向上平移3个单位
7.如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ）

A.B.C.D.
8.如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ）
A.B.3C.D.4
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9.如图，已知，其中，，则与的面积比为______．
10.请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______．
11.若点，在反比例函数的图象上，则______（“”“”“ ”）．
12.是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为______．
13.如图，一架无人机在距地面空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点）
14.如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______．
15.如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为______．
16.“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是______．
①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；
②；
③点到的距离为；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17.计算：．
18.如图，在中，，，．求长及的值．
19.二次函数的部分图象和对称轴如图所示．
（1）求二次函数表达式；
（2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为______．
20.如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长．
21.如图，在中，，，，求长．
22.如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下：
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②连接，作线段的垂直平分线，交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆．
即为所求作的圆．
（1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，．
垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
为半径，
与相切．（______）（填推理的依据）
垂直平分线段，
______．
．
经过，两点且与边相切．
23.图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长．
24.如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
25.当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质．
小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为；
（1）求液滴距离圆心处的沉积厚度；
（2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）．
26.在平面直角坐标系中，点，，在抛物线
（1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标；
（2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围．
27.已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂线，分别交延长线于点，于点．
（1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：；
（2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”．
（1），
①，，中，点______是弦关于的“关联点”；
②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______；
（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围．