2025-2026学年北京市丰台区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市丰台区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A.如意纹B.风车纹
C.冰裂纹D.柿蒂纹
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.不透明的袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，点A，B，C，D在上，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
5.下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②足球队员在射门时，球射入球门内；③将抛物线沿x轴翻折得到的抛物线经过原点，其中是随机事件的是（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
6.如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（ ）
A.点AB.点BC.点CD.点D
7.二次函数中的x与y的部分对应值如下表：
若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ）
A.到之间B.到0之间
C 1到2之间D.2到3之间
8.如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论：
①的半径为；
②点P的运动速度为；
③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或；
④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.方程的解为______．
10.如图，内接正五边形的半径为5，则的长为______．
11.若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是__________．（写出一个即可）
12.已知，则代数式的值为______．
13.已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______．
14.如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
15.投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图：
据此估计小新投壶一次投中的概率为______（结果保留小数点后一位）．
16.某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元．
（1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______；
（2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元．
三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.解方程：．
18.已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
19.已知：如图，及外一点．
求作：过点的的一条切线．
作法：①作射线，交于点，；
②以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点；
③连接交于点；
④作直线．
直线就是所求作的的一条切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
由作图可知，，∴为等腰三角形．
∵，，
∴，即点为的中点．
∴（______）（填推理的依据）．
∵为的半径，
∴直线是的切线（______）（填推理的依据）．
20.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
21.近年来，人工智能技术飞速发展，作为其硬件核心的芯片的算力（通常以为单位衡量）也在持续提升．某科技公司在2023年底发布了一款新型训练芯片“玄光Ⅰ代”，其单芯片峰值算力为（）．在2025年底，其新一代芯片“玄光Ⅲ代”的单芯片峰值算力达到．求该公司这款芯片的单芯片峰值算力的年平均增长率．
22.《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．
23.某校在读书节期间对做《西游记》手抄报获奖同学进行表彰，奖品采用分组抽盲盒的方式颁发．每组均有四个外观完全相同的盲盒，每个盒里装有一个西游记人物小摆件，分别是唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚，每名同学只能抽取一个盲盒．若某一组中只有小文和小利两位同学依次抽盲盒，请用列表或画树状图的方法，求唐僧和孙悟空小摆件被两人抽中的概率．
24.如图，中，，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆与相切于点D，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
25.某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，．
若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变．
（1）当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由；
（2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围．
26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是．
（1）用含t的式子分别表示b和c；
（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M与点N不重合．
①若，直接写出的长；
②点P在x轴上运动的过程中，的长随t的增大而增大，求t的取值范围．
27.如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F．

（1）求证：；
（2）连接，，延长交于点G．
①补全图形；
②用等式表示与的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到对应点在图形上，则称点是图形的关联点．
（1）已知点，．
①点，，中是线段的关联点的是______；
②若直线上存在线段的关联点，直接写出的取值范围；
（2）已知点，点是直线上的动点，是以点为圆心，为半径的圆．若线段上存在的关联点，直接写出点的横坐标的取值范围．
x
0
1
2
3
4
y
2
7