2025-2026学年北京市九年级上学期期末典型卷1数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市九年级上学期期末典型卷1数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了如图，已知，，，那么的长等于等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在中，斜边的长为m，，则直角边的长是（ ）
A. B. C.D.
2.如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，，则（ ）
A.B.C.D.
3.将二次函数转化为的形式，其结果为（ ）
A.B.
C.D.
4.如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A.4B.C.D.8
5.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则该反比例函数的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
6.如图．在中，，⊙O为的内切圆，切点为D、E、F，则的半径为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，，．如果的面积用表示，的面积用表示，那么（ ）
A.B.C.D.
8.如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（ ）
A.B.
C.D.
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9.在函数中, 自变量的取值范围是___________ .
10.将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为___________．
11.从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做________．
12.如图，等腰中，，，于D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中正确的是_________．
13.如图，抛物线的顶点为点P，直线与抛物线相交于A，B两点，则的面积是___________．
14.在中，，，点M在直线上，，则_______．
15.如图，在矩形中，，，是边上一点，过点作交的延长线于点，连接，分别交，于点，，若，则的值为______．
16.计算：（1）______；
（2）______．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17.计算：．
18.如图，在中，点D，E分别是边上的点．
（1）若，且，求的长；
（2）若，且的周长为，求的周长．
19.已知点在双曲线上．
（1）求a的值；
（2）当时，求y取值范围．
20.如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
21.已知二次函数．
（1）画出该函数的图像；
（2）若点和点也在该函数的图像上，求m，n的值．
22.在中，P为边上一点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）已知，M为边上一点．
①如图2，若平分交于点D，，求的长；
②如图3，若为边上的中线，，求的长．
23.如图，在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，等腰直角三角形的底边长40厘米，要使截得的矩形的边在上，顶点D，G分别在边，上．设的长为x厘米，矩形的面积为y平方厘米．
（1）试写出y关于x的函数解析式以及x的取值范围；
（2）当x为何值时，所截得的矩形面积最大，并求出最大值．
24.如图，在△中，，以中点圆心，长为半径作，交于点，交于点．
（1）①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②证明：．
（2）若，，求的长．
25.综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案．
【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．

【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米．
【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面挡风板．
【任务】
（1）确定中心：求图2中点到该结构最低点水平距离．
（2）确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式．
（3）确定高度：求挡风板的高度．
26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中．
（1）当，时，求抛物线的对称轴；
（2）已知当时，总有．求证：．
27.如图1，在中，，点分别在线段的延长线上，且，连接．
（1）求证：；
（2）现将绕点顺时针旋转，
①如图2，当时，若，求证：；
②在旋转的过程中，当线段的中点恰好落在直线上时，请利用备用图画出符合题意的示意图，并探究线段之间的数量关系．
28.考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．

（1）请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，数学兴趣小组同学在（1）的基础上，补全，连接，过点A作的切线交的延长线于点E，过点C作，交于点D，连接．
①求证：；
②连接，若为的直径，，求的半径．