2025-2026学年北京市石景山区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市石景山区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A B.
C.D.
2.已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ）
A.点P在外B.点P在上
C.点P在内D.不能确定
3.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，记与轴正半轴的夹角为，则的值是（ ）
A.2B.C.D.
4.半径为3的圆中，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
6.图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（ ）
A.B.C.D.
7.在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（）
A.1，1B.C.，1D.
8.如图，为第一象限内的动点，作矩形，使得轴，轴均为它的对称轴．双曲线，与矩形分别交于，，，，，，，．给出下面四个结论：
①与的面积可能不相等；
②与的面积一定相等；
③连接，，四边形可能是矩形；
④八边形一定是中心对称图形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①②B.①④C.②③D.③④
第二部分
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若，则的值为___________．
10.如图，直线，点，分别在线段，上，．若，则的长为___________．
11.如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________．
12.在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点，则___________（填“”“”或“”）．
13.近视眼镜度数（单位：度）与镜片焦距（单位：）满足反比例函数关系，200度近视眼镜的镜片焦距为．若近视眼镜不超过100度，则此眼镜的镜片焦距可能为___________（写出一个即可）．
14.在平面直角坐标系中，若二次函数满足，则它的图象一定不经过第___________象限．
15.如图是轿车停入车位的示意图，其中矩形表示轿车，矩形表示车位，同时是两矩形的对称轴．已知车宽为1.8米，车门的长为1米（点在边上），车门与车身的夹角（即）的大小为，当时，乘客可从车门处自由上下车．
（1）当车位宽为2.4米，车门与车身的夹角最大时，车门的外端___________车位内（填“在”或“不在”）：
（2）若乘客可从车门处自由上下车，且车门的外端在车位内，则车位宽至少为___________米（结果保留整数）（参考数据：，．
16.如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，．
（1）当为边的中点时，长的最小值为___________；
（2）的最小值为___________．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.计算：．
18.在平面直角坐标系中，已知二次函数．
（1）将该二次函数化为的形式：
（2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标：
（3）在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
19.如图，在中，，，，求的长．
20.如图，，，．
（1）求证：；
（2）延长交于点，求的度数．
21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是．
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围．
22.北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为．
（1）用尺规作出所在圆（保留作图痕迹）；
（2）直接写出卡槽所在圆的半径的长．
23.如图，在中，，为边的中点，过点作的平行线，交边于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．若，，求和的长．
24.如图，是的直径，点在上，连接并延长至点，使得．连接，交于点，过点作的垂线，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，，交于点．若的半径为2，，求的长．
25.为积极响应并贯彻落实北京市教委发布的中小学“体育八条”的精神，某学校计划组织羽毛球赛．甲、乙两名同学在羽毛球场训练，建立如图所示的平面直角坐标系．在羽毛球飞行过程中，记羽毛球的竖直高度为（单位：），羽毛球与点的水平距离为（单位：）．
甲同学发球后到乙同学击球前，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系，部分对应数据如下：
根据以上数据，回答下列问题：
（1）甲同学发球后到乙同学击球前，
①羽毛球飞行到最高点时，竖直高度为 m，此时水平距离为 m．
②求出与的函数关系式：
（2）若甲发球过网后，乙在羽毛球与点的水平距离为时第一次击球．根据以往经验，乙有两种击球方式．以方式一击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系；以方式二击球，羽毛球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．以上两种击球方式均能使球过网后落地．
选择方式 击球（填“一”或“二”），落地点与点的水平距离更大．并说明理由．
26.平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点．
①若，直接写出的长；
②已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围．
27.如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）直接写出的大小，并证明．
28.对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”．
（1）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，．
①在点，，中，点 是的“生成点”；
②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标：
（2）已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围．
水平距离
0
1
2
3
4
竖直高度
0.9
2.4
3.3
3.6
3.3