（人教A版）必修一高一数学上学期期末模拟测试卷02（能力提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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一、单项选择题
1．若，则“”是 “”的【 】
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
2．函数的定义域【 】
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式组得出定义域.
【详解】，解得即函数的定义域故选：C
3．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是【 】
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．
4．若，则【 】
A．2B．2或0C．0D．或0
【答案】C
【分析】根据对数运算法则可知，且，，，
化简得，再化简求值.
【详解】依题意，，，，或，
，，，，（舍去），，．故选C
5．设函数,【 】
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【详解】.故选C.
6．已知角的终边与单位圆的交于点，则【 】
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则
7．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是【 】
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.
故选：B.
8．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为【 】
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象如图，
观察图象知，函数与的图象有3个公共点，所以方程的解的个数为3.故选：A
二、多项选择题
9．设正实数满足，则下列说法正确的是【 】
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为2
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.
【详解】选项，正实数满足
，
当且仅当时，等号成立，故正确；
选项，由且得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；
选项，由且得，
则，故错误；
选项，，故正确.故选：.
10．已知函数，下面说法正确的有【 】
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
【答案】BC
【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
11．已知函数，下列说法正确的是【 】
A．的最小正周期为
B．若.则
C．在区间上是增函数
D．的对称轴是
【答案】BD
【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】依题意，，函数部分图象如图，
函数是周期函数，周期为，而，
即不是的周期，A不正确；
因且，则当时，且，
则且，，因此，，，B正确；
观察图象知，在区间上不单调，事实上，，在区间上不是增函数，C不正确；
观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，
事实上，即图象关于对称，
同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.故选：BD
三、填空题
12．设函数，则_____.
【答案】
【分析】根据指数的运算律计算出的值，由此可计算出所求代数式的值.
【详解】，，
，
因此，.
故答案为.
13．函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到．
【答案】
【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.
14．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
【答案】 1 4
【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图像有：
因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是1.
又由图可知,,,故,故.
故.又当时, .当时, ,故.又在时为减函数,故当时取最大值.
故答案为：(1). 1 (2). 4
四、解答题
15.化简:
（1）设，求.
（2）已知，求.
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）根据诱导公式化简，代入求值即可；
（2）由已知可得，化弦为切，代入求值即可.
【详解】∵，则.
（2）依题意得：，∴，
∴.
16.已知函数是定义域为R的奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．
【答案】（1） ； （2） .
【分析】(1)由 f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.
【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,
又，则=-，=-，b=1，
（2） =1-，所以在上单调递增；
由 可得在有解
分参得，设, ，所以,
则的最小值为．
17.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【答案】(1)，
(2)或时，L取得最大值为米．
【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+csθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值．
【详解】（1）由题意可得，，，
由于 ，，所以，，
，即，
（2）设，则，
由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
18.已知函数．
（1）求的对称中心；
（2）设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间，上的最大值为2，求a的值．
【答案】（1）对称中心为；（2）；（3）或6．
【分析】（1）化简函数即可得对称中心；
（2）求出函数的增区间，根据是其子区间解不等式得解；
（3）化简通过换元法转化为根据二次函数的最值求参数的取值.
【详解】（1）．
对称中心为．
（2），由，解得，
的递增区间为，
在上是增函数，当时，有，
，解得，的取值范围是．
（3），令，则，
，，
，，．
①当时，即时，．
令，解得（舍）．
②当时，即时，
，令，解得或（舍）．
③当时，即时，在处，由，得．因此或6．
19.对于函数.
(1)若，且为奇函数，求a的值；
(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）利用奇函数的定义可得；
（2）由题可得，分类讨论可得；
（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.
【详解】（1）∵，∴，又为奇函数，
∴，
∴，对定义域内任意恒成立，
∴，解得，此时，定义域为符合奇函数的条件，所以；
（2）方程，所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足②，则，
若满足②，则，所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
（3）令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，所以函数在单调递增，
所以，∴.