（人教A版）必修一高一数学上册期中模拟卷02（2份，原卷版+教师版）

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1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，分别求出集合和集合，进而求出.
【详解】集合，，又，，
.故选：A.
2．已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】由题意知，，又，所以，所以，
解得.故选：C
3．二次不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得2,3为方程的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.
【详解】因为二次不等式，所以，因为不等式的解集是，所以2,3为方程的两个根，所以，即所以.故选：B
4．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，故选：A.
5．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.
【详解】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
6．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数，所以.
故选：B
7．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），
所以.故选：B.
8．已如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.
若，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数、的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答.
【详解】由图象知，，，
显然函数是奇函数，则，
因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移2个单位而得，于是得，当且仅当，解得，而，即有，所以正实数的取值范围为.故选：D
选择题：
9．下列选项中能表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．，D．，
【答案】BCD
【分析】根据两个函数相等，则其对应关系相同且定义域也相同，分别从对应关系和定义域两个方面分析判断．
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，A不正确；
对于B、C：显然定义域均为，虽然解析式书写形式不一样，但对应关系相同，B、C正确；
对于D：显然定义域均为，，则，，D正确；
故选：BCD．
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据列不等式判断AD，再根据基本不等式判断BC即可
【详解】∴.∴，解得，同理，则A不正确.D正确：
∵，当且仅当时，等号成立，∴，则B正确：
∵，当且仅当时，等号成立，∴，则C正确.故选：BCD.
11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A．B．C．是奇函数D．若，则
【答案】ACD
【分析】对取特殊值代入已知表达式即可求解
【详解】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，所以是奇函数，故C正确；
令，则，所以，故D正确；
故选：ACD
三．填空题
12．已知，，则的取值范围是_________
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：因为，，所以，，所以，
故答案为：
13．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.
【详解】幂函数在上是减函数，，解得，
，或．当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，
在R上为增函数，，解得：.
故答案为：.
14．已知函数的定义域为，则当___________时，取得最小值，且最小值为___________.
【答案】 9
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】∵函数的定义域为，
∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，且最小值为9.故答案为：；9.
四．解答题：
15．设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）代入，得集合B，利用交集与并集的定义求解；
（2）由题意判断出B⊑A，因为，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.
(1)因为，所以，所以，；
(2)因为是成立的必要不充分条件，所以B⊑A.又，故不为空集，
故，得，所以实数的取值范围.
16．已知函数，．
(1)当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）；
(2)求的最小值的表达式．
【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为：．
(2)
【解析】(1)当时，的对称轴为
∵∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则，∴函数的值域为：．
(2)函数的对称轴为，开口向上，∵，则有：
①当即a≤-4时，函数在上单调递增，
∴，
②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
③当即a≥-8时，函数在上单调递减，∴，
综上所述：
17．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；
（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.
(1)，则，
又，则；
(2)，又存在使成立，
即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
18．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)(2)3万元
【分析】（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
(1)由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−
则2022年的利润．
(2)∵当时，，∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
19．函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
(2)若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
(3)问实数k､b满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
【答案】(1)是，不是，理由见解析(2)2(3)，
【分析】（1）根据“圆锥托底型”函数的定义，分别代入，判断即可；
（2）代入可得对一切实数x均成立，当时显然成立，再根据基本不等式求解时的情况即可；
（3）分和两种情况，结合“圆锥托底型”函数的定义分析即可
(1)由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故不是“圆锥托底型”函数
(2)由题意，对一切实数x均成立.当时显然成立，
当时，恒成立，又，当且仅当时取等号.故M的最大值为2
(3)若是“圆锥托底型”函数则：
①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；
②当时，若，则为常数，不满足恒成立.
若时，令，解得，此时无解，故当时，不是“圆锥托底型”函数.
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数.