（人教A版）必修一高一数学上学期期中模拟测试卷02（能力提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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一、单项选择题
1．若，则实数的值为【 】
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】因为，若，则，即为，集合中元素的互异性矛盾，舍去；若，则，因此，即为，符合题意；综上：，
故选：C.
2．设全集，，，则【 】
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，因此，.
故选：B.
3．命题“”的否定是【 】
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是：.故选：D
4．若，，则的取值范围是【 】
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，．故选：A
5．若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为【 】
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：依题意，，令，故问题转化为求函数在上的最大值；因为二次函数的对称轴为，且，故，故，故选：A.
6．函数的值域是【 】
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：令，则，原函数即为：，对称轴方程为，可知，函数值域为．故选：C．
7．若点在幂函数的图象上，则函数的值域是【 】
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，解得，，故，对于函数，有，解得，故函数的定义域为，且，
因为
故，即函数的值域为.故选：B.
8．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是【 】
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，可得值域为
又∵，，∴为单调增函数，值域为
即∵，，使得，∴故选：D.
二、多项选择题
9．设集合，集合，若 ，则 可能是【 】
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】当时，，符合；
当时，，不符合；
当时，，符合；
当时，，符合．
故选：ACD．
10．下列说法正确的是【 】
A．若正实数满足则
B．若，则有最大值
C．若ab=4，则a+b≥4
D．，使得不等式成立
【答案】ABD
【解析】A选项，由于，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B选项，，若异号，此时，若同号，则，由基本不等式得：，故B正确；
C选项，ab=4，若，则，若，则，故C错误；
D选项，当时，成立，故D正确.故选：ABD
11．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是【 】
A．(－∞，－6]B．(－6，6)C．(－3，5]D．[6，＋∞)
【答案】AD
【解析】任取，，
由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD
三、填空题
12．若不等式的解集为，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】的解集为，
和是方程的两根且，，即；
则可化为，，
解得：或，即不等式的解集为.故答案为：.
13．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．
【答案】3
【解析】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，
∴，且为偶数，，且.解得，，1，2，且,
只有时满足为偶数.∴.故答案为：3.
14．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间_______；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是________．
【答案】 或或
【解析】（1）设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为，所以，即，因为，所以或或，函数的共鸣区间为或或.
（2）因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根，令，得，
所以在上有两个不等的实根，令，
则，即，解得，故实数k的取值范围是
四、解答题
15.已知非空集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据补集及交集运算法则计算出答案；
（2）根据“”是“”的充分不必要条件，得到非空集合P是Q是真子集，
得到不等式组，求出实数的取值范围.
【解析】（1）因为P是非空集合，所以，即.
当a=3时，P={x|4≤x≤7}，或，，所以.
（2）“”是“”的充分不必要条件，即非空集合P是Q是真子集，
所以或，解得：，即实数a的取值范围为.
16.（1）已知，求最小值；
（2）已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值.
【答案】（1）9；（2）的最小值为，此时.
【解析】（1），因为，所以，，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9
（2）由得：，即，故
，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时.
17.已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若时，不等式无解，求t的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根据给定条件利用换元法计算作答.
(2)利用(1)的结论借助均值不等式求出的最小值即可作答.
【解析】(1)函数，设，则，
则，则，
所以函数的解析式.
(2)由(1)知，，当时，，当且仅当时取“=”，
因此，当时，，
若时，不等式无解，即恒成立，则有，
所以t的取值范围为.
18.已知，，是不全为零的实数，函数，.方程的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根.
(1)若且，求方程的实数根；
(2)若且，求的取值范围；
(3)若，，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)(3)
【解析】（1）由，即①，
当，时，①的根为，；
（2）由且，则，
∴.
，即.②
（i）当时，，①、②的根都为，符合题意.
（ii）当，时，①的根为，，它们也都是②的根，
又，不是的实数根.
由题意，无实数根，故，得.
综上，若，则的取值范围为.
（3）由，得：，，.③
由可以推得，知的根一定是的根.
由题意，的实数根都是的根，
（i）当时，符合题意.
（ii）当时，，的根不是④的根.
（a）当④无实数根时符合题意，解得；
（b）当或时，由④得，即，⑤
根据题意，方程⑤无实数根， ，
当时，只需，解得，矛盾，舍去.
当时，只需，解得，即.
综上，所求的取值范围为.
19.已知函数为偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断的单调性，并用定义法证明你的判断：
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析(3)
【解析】(1)为偶函数，定义域为，故对定义域内恒成立，
，即对定义域内恒成立，故；
(2)，在上单调递增，在上单调递减，
证明：设，，故在上单调递增，
同理可证在上单调递减；
(3)由题意得，而，
①时，，，解得，
②时，，，
故时恒满足题意，综上，的取值范围是．