四川省罗江中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学科目试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. “ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知平面向量，且，则（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图，在正方体 ABCD-EFGH 中，P 在棱 BC 上，BP=x，平行于 BD 的直线 l 在正方形 EFGH 内，点 E
到直线 l 的距离记为 d，记二面角为 A-l-P 为θ，已知初始状态下 x=0，d=0，则（）
A. 当 x 增大时，θ先增大后减小 B. 当 x 增大时，θ先减小后增大
C. 当 d 增大时，θ先增大后减小 D. 当 d 增大时，θ先减小后增大
4. 已知两点到直线距离相等，则（）
A 2 B. C. 2 或 D. 2 或
5. 如图，正方体的棱长为 1，动点在线段上，动点在平面上，且
平面，则线段长度的取值范围为（）
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A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边
分别与单位圆交于两点.若，则（）
A. B. C. D.
7. 设函数的定义域为 R，为奇函数，为偶函数，当时，
．若，则（）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足 .记数列的前 n 项和为，则（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知，则（）
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A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 单调递减区间是
B. 若，则方程有两个不等的实根
C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为
D. 若过点可以作曲线的三条切线，则
11. 双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内
切圆圆心为，则（）
A. 点在直线上
B.
C. 外接圆的面积为
D. 连结交轴于点，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 的展开式中，项的系数为______．
13. 在等差数列中，，与互为相反数，为的前 n 项和，，则的最小
值是______．
14. 已知曲线是平面内到定点与到定直线距离之和等于的点的轨迹，若点在上，
对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，．
（1）求 A；
（2）若面积为，求的值．
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16. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活
动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生女生
支持不支持支持不支持
方案一 200 人 400 人 300 人 100 人
方案二 350 人 250 人 150 人 250 人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的
概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年
级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足．
（1）证明：平面；
（2）若，平面 ABC，，，求直线与平面所成角的
正弦值．
18. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，令，求证：．
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19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为 2，点，过的直线交于，
两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点， .
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
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