四川省罗江中学2024-2025学年高三下学期第三学月考试数学试卷（Word版附解析）

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说明：
1．考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分．
2．开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的
规定区域填写，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写．
3．考试结束后，只交回答题卡即可．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知数列 满足： ， ，则 所有可能的取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
3. 函数 f（x）=x2–xsinx 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，
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则塔的顶层共有灯
A. 1 盏 B. 3 盏
C. 5 盏 D. 9 盏
5. 用半径为 4 圆形铁皮剪出一个圆心角为 的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大
时，扇形的圆心角 是（ ）
A. B. C. D.
6. 直线 分别与曲线 ， 直线 交于 两点， 则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
8. 0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，
使得 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个
序列的周期.对于周期为 的 0-1 序列 ， 是描述其性质的重要指
标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 的序列是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列函数中，直线 能作为其图像 切线的函数是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，且 ，则（ ）
A. d＜0 B. a10＝0 C. S18＜0 D. S8＜S9
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
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A. ，使得
B. 函数 图象是一个中心对称图形
C. 曲线 有且只有一条斜率为 的切线
D. 存在实数 ， ，使得函数 的定义域 ，值域为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 曲线 在点 处的切线方程为________.
13. 函数 的最小值为______.
14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，
某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器
外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从 1
号仓到达容器外的概率为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别
用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
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0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16. 已知函数 最小正周期为 .
（1）求 图象的对称轴方程；
（2）在 中， 的周长为 4AB，且 ，求 .
17. 记 为数列 的前 n 项和，已知
（1）求 的通项公式；
（2）证明:
18. 如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ，
， 分别是线段 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息
过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息论之父香农（）在 1948 年发表的论文《通
信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现
概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算“信息熵”
的数学表达式，从而解决了对信息的量化度量问题．设随机变量 的所有可能取值为 1，2，…，
， 且 ， ， 定 义 的 “信 息 熵 ”为
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．
（1）当 时，求 的值；
（2）当 时，若 ，探究 与 是正相关还是负相关，说明理由；
（3）若 ， ， ，求此时的 ．
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