四川省德阳市罗江中学2025届高三下学期高考模拟考试（三）数学试卷（Word版附解析）

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说明：
1.考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分.
2.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规
定区域填写，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写.
3.考试结束后，只交回答题卡即可.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设 z=i(2+i)，则 =
A. 1+2i B. –1+2i
C. 1–2i D. –1–2i
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 正方形 ABCD 的边长为 1，取正方形各边的中点 ， ， ， 作第二个正方形 ，然后再取
正方形 各边中点 ， ， ， 作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前 11 个正方形
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的面积和为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
6. 已知正四棱锥的侧棱长为 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
7. 已知 ，则（ ）
A. B.
C D.
8. 任意实数 ，函数 在 上有最值，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知正实数 a，b 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确
的是（ ）
A. 的最大值为 5 B. 的最小值为
C. 直线 与圆 相切时， D. 圆心 到直线 的距离最大为 4
11. 已知 ， 分别是椭圆 ： 左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的
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一点， 是线段 的中点，则（ ）
A. B.
C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等差数列 的公差 ，若 ， ， 构成等比数列，则 ______．
13. 若曲线 在点 处 切线也是曲线 的切线，则 __________.
14. 在一个不透明的袋子中装有 个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每
次至少摸取 1 个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也
记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在锐角 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 边上的高等于 a．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17. 已知数列 满足 ，且 是关于 的方程 的两个根．
（1）求 ；
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（2）设 ，求数列 前 21 项和 ．
18. 已知动点 满足关系式 .
（1）求动点 轨迹方程；
（2）设动点 的轨迹为曲线 ，抛物线 的焦点为 ，过 上一点 作 的两条切线，切点
分别为 ，弦 的中点为 ，平行于 的直线 与 相切于点 .
①证明： 三点共线；
②当直线 与 有两个交点时，求 的取值范围.
19. 设 ， ，…， 是 1，2，…， （ 且 ）的一个排列.数列 满足 为 ， ，
（ ）的中位数，规定 ， .将 中的所有取值构成的集合记为 .
（1）当 时，求 和 ；
（2）求 中所有元素之和的最大值；
（3）求 中元素个数的最小值.
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