四川省广元市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省广元市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ）
A．85B．90C．95D．100
4．有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，.由这组数据得到一组新样本数据，，…，.其中，其平均数和方差分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设和是以原点为圆心的单位圆上的两个点，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
10．下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．时，D．
11．正方体的棱长为2，，，.下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若，则平面
C．若，，则四面体的体积为
D．点到直线的距离的最小值为
三、填空题
12．已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生 人.
13．在中，角，，的对边分别为，，，若，则 .
14．在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为 .
四、解答题
15．如图，在正方体中，
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角.
16．某校高一年级共名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分（满分分）进行统计，按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)试估计本次数学考试分数的中位数（保留一位小数）；
(3)试估计本次数学考试分数不低于的人数．
17．如图，在中，，，，点为边上靠近点的三等分点.
(1)求证：；
(2)求的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点.
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为.
（ⅰ）求四面体的体积；
（ⅱ）求二面角的正弦值.
19．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
1．A
根据二倍角正弦公式计算即可.
【详解】,
故选：A.
2．D
由共轭复数的概念、复数的几何意义即可得解.
【详解】已知复数，则在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．C
由百分位数的定义求解即可.
【详解】将这8个数据从小到大排列为：10，20，30，70，80，90，100，110，
而，从而所求为从小到大排列后的第六个数和第七个数的平均数，即为.
故选：C.
4．B
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解.
【详解】因，可得，，
故B正确,A,C,D均错误.
故选：B.
5．B
直接根据在方向上的投影向量公式求出投影向量，从而求出向量的模即可求解．
【详解】，，，所以， ，
则在上的投影向量为，
其模为，
故选：B．
6．C
画出图形，将所求转换为圆锥、圆柱的表面积计算即可.
【详解】如图所示，
则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为圆锥的侧面积，加上圆柱的侧面积，再加上圆柱的一个底面的面积，
而圆锥的母线长为，
故所求为.
故选：C.
7．D
由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，则，所以，
因为，则，
又，所以.
所以
.
故选：D.
8．B
根据题意表示出，根据向量数量积的运算求得，进而根据的值，求得的值.
【详解】，，
是钝角，
，
，，，
和是以原点为圆心的单位圆上的两个点，
，
，
，
，
，
故选：B
9．BD
由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系.
【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误；
若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确；
若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误；
若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直，
所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确.
故选：BD.
10．ACD
A选项，由同角三角函数关系和二倍角公式求出，从而得到A正确；B选项，利用余弦和角公式进行计算；C选项，时，，C正确；D选项，利用正切和角公式得到，化简得到D正确.
【详解】A选项，
，
由，所以，A正确；
B选项，
，B错误；
C选项，时，，故，C正确；
D选项，，
即，
所以，D正确.
故选：ACD
11．BCD
如图以E为原点建立空间直角坐标系.对于A，做出关于平面对称点，当三点共线时取最小值；对于B，求出平面法向量，验证是否为0即可判断选项正误；对于C，由题可得，则四面体的体积为；对于D，由题可得到直线的距离为，代入题中数据可判断选项正误.
【详解】如图，以E为原点建立空间直角坐标系.
对于A，因，则P为中点，又，.
则，从而关于平面对称点为，
则，
当且仅当三点共线时取最小值，故A错误；
对于B，因，则，
则.
又，则，
设平面法向量为，则，
取，则，则，因，
则，又易得平面，则平面，故B正确；
对于C，由B分析，，则，
则四面体的体积为，故C正确；
对于D，因，则，又，
则，又，，
则，在方向上的投影向量的模为：
，则到直线的距离为
，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BCD
12．90
先求出高中生所占的比例，根据分层抽样定义计算即得.
【详解】由题意，应该抽取高中生的人数为：
.
故答案为：90.
13．
由正弦定理角化边得，再由余弦定理边化角即可得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
而，从而.
故答案为：.
14．
先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.
【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，
等腰梯形中，，，
则有，则四边形为平行四边形，
则，又，则为等边三角形，
则，则为等边三角形
则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，
中，，则
又底面，则底面，
又，
，
即，
故点H为四棱锥的外接球球心，
球半径
则四棱锥外接球表面积为
故答案为：.
15．(1)证明过程见解析
(2)
（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）设，连接，根据平面，可得即为直线和平面所成角的平面角，再解即可.
【详解】（1）如图所示，连接，
因为面，面，所以，
又因为，面，
所以面，
而面，从而，
同理可证面，
而面，从而，
又因为，面，
所以平面；
（2）设，连接，
由（1）得平面，
则即为直线和平面所成角的平面角，
又平面，所以，
在中，，
所以，
又，所以，
即直线和平面所成的角为．
16．(1)
(2)
(3)
（1）根据频率分布直方图频率和为，可得的值；
（2）根据中位数的定义及公式可得解；
（3）根据频率分布直方图可得频率，进而可得人数.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，
所以；
（2）因为，，
所以本次数学考试分数的中位数在这一组，
设本次数学考试分数的中位数为，则，
解得，
所以估计本次数学考试分数的中位数为；
（3）由频率分布直方图可得数学分数不低于的频率为，
用样本估计总体，可以估计数学分数不低于的人数为，
所以估计本次数学考试分数不低于的人数为．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据向量的线性运算得，，即可利用数量积的运算律求解，
（2）根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以,所以，
因为点为边上靠近点的三等分点.
所以，所以，
因为所以，
所以，
所以，即.
（2）由题意可得,
,
,
所以.
18．(1)证明过程见解析
(2)（i）；（ii）
（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.
（2）（i）说明三角形是边长为2的等边三角形，平面，再结合棱锥的体积公式即可求解；（ii）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值，利用平方关系求得正弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面，
而平面，则，由为的中点，得，
则四边形是平行四边形，因此，
所以.
（2）（i）由为的中点，，则，而，
平面，于是平面，平面，
则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，
在中，，而，
解得，则，由平面，得直线与平面所成角为，
显然，则，
所以直线与平面所成角为，
而，从而，又，
所以三角形是边长为2的等边三角形，
又平面，，所以平面，
故所求为；
（ii）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形，
，，由三角形面积法得，
由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点，
在直角梯形中，，则，
，显然∽，则，
于是，，为线段的中点，
显然是二面角的平面角，在正中，，
由平面，平面，则，平面，
于是平面，而平面，则，，
所以二面角的正弦值为.
19．（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；
（2）若是函数的零点，则，解得
或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.
【详解】选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，
当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
B
C
D
B
BD
ACD
题号
11









答案
BCD