（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练解三角形专题：三角形的中线、角平分线与高线问题（2份，原卷版+解析版）

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一、中线
1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)
推导过程：在∆ABD中，csB=AB2+BD2−AD22AB∙BD，
在∆ABC中，csB=AB2+BC2−AC22AB∙BC
联立两个方程可得：AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
推导过程：由AD=12AB+AC，
则AD2=14AB+AC2=14AB2+14AC2+12ABACcsA
所以AD2=14b2+c2+2bccsA
【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.
二、角平分线
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.
推导过程：在中，，
在中，，，
该结论也可以由两三角形面积之比得证，即
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，
再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，
运用向量知识解决起来都较为简捷。
3、等面积法：
因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，
所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2
整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分线长公式）
三、垂线
1、分别为边上的高，则
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
题型一 与中线有关的三角形问题
【例1】已知的内角、、的对边分别为、、，满足．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线，且，求的值．
【变式1-1】在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若，，AD是的中线，求AD的长.
【变式1-2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【变式1-3】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求.
【变式1-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求；
（2）若，求边中线的最大值.
题型二 与角平分线有关的解三角形问题
【例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式2-1】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
（1）求角B的大小；
（2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
【变式2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足．
（1）求A的大小；
（2）若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．
【变式2-3】在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，，求角
（2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
【变式2-4】的角，，所对的边分别为，，，点在上，
（1）若，，求；
（2）若是的角平分线，，求周长的最小值.
题型三 与高线有关的解三角形问题
【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A的大小；
（2）请根据（1）中的结论，从条件①、条件②、条件③中再选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上高线的长．
条件①：，b＝1；
条件②：a＝3，；
条件③：b＝3，．（注：若重复选择，按第一个解答给分）
【变式3-1】在中，角，，的对边分别是，，，且满足．
（1）求；
（2）若，是边上的高，求的最大值．
【变式3-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若边AB上的高为3，求c的最小值．
【变式3-3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若A为锐角，，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．
【变式3-4】在均为锐角的中，内角所对的边分别为，是的外接圆半径，且.
（1）求；
（2）若边上的高为，且，，求的值.