（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题08 解三角形中的多三角形问题（2份，原卷版+解析版）

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1.多三角形问题
多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形
在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角(补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式进行结合求解
2. 三角形的特殊线问题
考点一 多三角形问题
1.四边形切割多三角形问题
例1．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）
A．6B．9C．7D．8
【答案】D
【分析】在中，利用正弦定理即可求出，确定四点共圆，可得，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．故选：D.
练习1．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .
【答案】7
【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.
【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,故答案为：7
练习2．如图,在平面四边形中,,.
(1)试用表示的长;
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可;
(2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.
【详解】（1）（）,,,
，则
在中,
,,则.
（2）在中,
,则当时,取到最大值.故的最大值是
练习3．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；
（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．
【详解】（1）由，，可得：，，
而，故，在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，所以.
所以五边形ABCDE的周长.
2.三角形切割多三角形问题
例2．如图，在中，D为边BC上一点，，，，.
(1)求的大小；
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；
（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.
【详解】（1）在中，，
又，所以 ；
（2）在中，，则 ，
因为，所以，
在中，，则 ，
，
在中，因为，所以，则 ，
故.
练习1．三角测量在三角学与几何学上是一种借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度，测量目标距离的方法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中，由于实际情况，其它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③.请根据以上数据求出的面积.
【答案】
【分析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到求出的面积即可．
【详解】解：在中，由正弦定理，可得所以，
因为，，
所以，故．
练习2．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）同角三角函数关系可得，再应用差角正弦公式求、，进而求.
（2）应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.
【详解】（1）∵，∴，
则．
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
练习3．已知点P在△ABC的边BC上，AP= PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.
【答案】
【分析】根据△ABC的面积为可求BC=5，进而在中可求,然后在△ABP中，由正弦定理即可求解.
【详解】∵AC=PC= AP=2，∴△APC为等边三角形，
由，得BC=5，则BP=5-2=3，
作AD⊥BC交BC于D，在等边△APC中，，则BD=BP+PD=3+1=4，
在中，，
在△ABP中，由正弦定理得：∴故答案为:
考点二 三角形的特殊线问题
1.中线问题
例3．在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______．
【答案】1
【分析】设D为边的中点，则，平方后可求得，继而求得，利用正弦定理即可求得答案.
【详解】如图，在中，设D为边的中点，
则，,所以,
故，而,
所以 ,则，
由于，故，所以 ，设的外接圆的半径为R,
则 ，故答案为：1
练习1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求；
(2)若B是钝角，求AC边上的中线长．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）根据同角基本关系可得正弦值，进而根据正弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理可求解，利用向量得，平方后即可求解．
【详解】（1）由,则,由正弦定理得，
（2）由于B是钝角，故,
由余弦定理可得，解得（负值舍去），
设边上的中线为，则，
所以，
所以，即边上的中线长为．
练习2．已知向量，向量，且函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足．若，BC边上的中线长为3，求的面积．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据数量积的坐标运算可得，解，，可得到函数的单调递增区间；
（2）由已知可解出，根据中线的向量表示以及，即可得到，进而求出的面积．
【详解】（1）因为，
由，可得，，，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
因为，所以，所以，所以.
又，则，则.
又BC上的中线长为3，则，即有.
所以，，即，所以，
所以，.
练习3．在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【分析】由题意得，平方化简结合余弦定理可得，设，，由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值
【详解】解：由题，∵，∴，
即，即，
设，，由得，
则，（当且仅当，即，是取等），∴周长的最大值为6．故选：B
2.角平分线问题
例4．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
【答案】(1)(2)2
【分析】(1)先将三角形面积公式代入,再将余弦定理代入,化简后利用辅助角公式即可得出结果;
(2)由于平分,且,可得,根据建立关于的等式,再根据余弦定理建立另一个关于的等式,两式联立即可求得结果.
【详解】（1）解:由题知,则有:①,
在中,由余弦定理可得:,代入①式可得: ,
即,由辅助角公式可得:,所以或,
即或,因为,所以;
（2）由(1)知,因为平分,所以,且有,
即:,
将边和角代入可得: ,化简可得: ,
在中,由余弦定理可得:,即,
即,解得:(舍)或,即,解得.
练习1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；
（2）根据角平分线利用三角形面积间的关系得，再由余弦定理，求出即可得解.
【详解】（1），由正弦定理，得，则，
即，因为，所以，
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知，所以△ABC的外接圆半径为．
（2）由BD平分∠ABC，得，
则，即．
在△ABC中，由余弦定理可得，
又，则，
联立，可得，解得（舍去）．
故．
练习2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点E，
(1)求角B的大小；
(2)记，的面积分别为，在①，②这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)选①：；选②：
【分析】（1）由，结合正弦定理及化简得到，即可求解；
（2）选①：由余弦定理列出方程求得，令，结合三角形的面积公式，求得则，，即可求得的值；
选②：由，求得，利用余弦定理列出方程求得，联立方程组求得，结合面积公式求得，即可求得的值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即
又由，可得，
因为，可得，所以，又因为，可得.
（2）选①：因为，，
由余弦定理可得，整理得，解得，
因为为的平分线，令，
则，，
所以，故的值为.
选②：，，，由，解得，
又由，由余弦定理可得，即，可得，
又因为，可得，所以，即，
联立方程组，解得，由为的平分线，令，
所以，，
所以，故的值为.
练习3．已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得，再求，代入面积公式运算求解.
【详解】设
∵，则
即，可得
∵，则
∴，则故选：B.
3.高线问题
例5．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的大小.
（2）利用余弦定理、基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）法一：左边，右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，右边，
由题意得，又因为，所以.
（2）由，由余弦定理得，
，，当且仅当时取“等号”，
而，故
练习1．在中，内角的对边分别为，且
(1)求；
(2)若，，求中边上高线的长
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，又因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）由已知及余弦定理得，所以，
设中边上的高线长为，所以，解得.
练习2．在中，角A，B，C的对边分别为，
（1）求角以及边上的高线长；
（2）求．
【答案】（1），边上的高线长为；（2）.
【分析】（1）由余弦定理求得，得到，则，结合面积相等，求得边上的高线长；
（2）由余弦定理求得，结合由正弦定理，得到，即可求解.
【详解】（1）在中，因为，
由余弦定理可得，
又因为，所以，则，
可得的面积为，
设边上的高为，可得，解得，
（2）由余弦定理可得，
又由正弦定理，可得.
练习3．在中，，，的对边分别是，，，且，，，，则边上的高线的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，，，由余弦定理得，可得，，然后由面积公式求解.
【详解】因为，，，所以由余弦定理得，可得，整理可得，又，所以.，
所以边上的高线的长为.故选：D
一、单选题
1．中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（ ）
A．16B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，，因为，所以.
因为是边BC的中点，所以，.
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，即面积最大为．故选：B
2．在锐角三角形ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换可得.进而根据正切函数的单调性得，即可根据求解范围.
【详解】设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，,则AB边上的高，由正弦定理得.由为锐角三角形，可知30°